Нелинейное изометрическое отображение

[Mysterious Light]

Верно ли, что не существует нелинейного изометрического отображения гильбертова пространства в себя с неподвижной точкой в нуле?

\begin{multline*} \forall H\in \mathrm{Hilb}: \; \forall f\!\! :H\to H: \\ (\forall x,y\in H: \| f(x-y) \| = \| x-y \|) \;\wedge\; (f(0)=0) \; \Rightarrow \; (\forall x,y\in H: f(x+y)=f(x)+f(y)). \end{multline*}

P. S. не доводилось иметь дело с отображениями, сохраняющими расстояние, давеча подумал о том, что такое отображение, если зафиксировать ноль, подобно повороту. Взять ортогональное отображение — оно будет сохранять расстояние, но к тому же линейно. Вот и задался обратной задачей.

[Padawan]

Верно. Если сохраняются расстояния, то сохраняются и скалярные произведения. Вектор в исходном базисе и преобразованный вектор в преобразованном базисе будут иметь одинаковые координаты.

[AGu]

Кстати, вместо $\|f(x-y)\|=\|x-y\|$ должно быть $\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$.
Ссылка по теме: Mazur–Ulam theorem.

[Mysterious Light]

Верно исправили. Жалко, что у меня пропадает возможность редактировать свои сообщения через некоторое время после отправки.

Спасибо за ответы. Мне понравилась идея Padawan, но она работает, как мне кажется, только в сепарабельных пространствах. Зато простая. Теорема Мазура-Улума формулируется для произвольных нормированных пространств, полностью совпадает с вопросом.