Доказать тождество

[sopor]

Доказать, что $\sum \limits _{k=0}^{n} C_{2k}^{k}\cdot C_{2(n-k)}^{n-k}=4^n$

[SpBTimes]

Разложим $(1 + x)^{-1/2}$ по Тейлору и потом возведем в квадрат. Коэффициент при $x^k$ есть $\frac{(-1)^k}{4^k}\sum\limits_{i = 0}^k C_{2i}^i \cdot C_{2(k - i)}^{k - i}$, а слева $\frac{1}{1 + x} = 1 - x + ... +(-1)^kx^k + ...$
Т.е. $\sum\limits_{i = 0}^k C_{2i}^i \cdot C_{2(k - i)}^{k - i} = 4^k$