Найти преобразование Фурье

[no_use_for_a_login]

Требуется найти преобразование Фурье от $v.p. \frac{cos(x)}{x}$ в пространстве обобщенных функций.
Все как обычно: расписываем действие:
$<\widehat{v.p. \frac{cos(x)}{x}}, \phi(x)> = <v.p. \frac{cos(x)}{x}, \widehat{\phi(x)}>$ ... и так далее. Записываем все через интегралы, меняем их местами по теореме Фубини, получаем такое выражение:
$v.p. \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(x) \int_{-\infty}^{\infty} \frac{cos(y)}{y} e^{-ixy} dy dx$.
Внутренний интеграл и будет искомым преобразованием Фурье. Вопрос в том, как его посчитать. Я перехожу в комплексную плоскость:
$v.p. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{cos(z)}{z} e^{-ixz} dz = v.p. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iz(1-x)} + e^{-iz(1+x)}}{2z}dz$.
Дальше применяем лемму Жордана и считаем через вычеты, замыкая контур либо вверх, либо вниз в зависимости от $x$. Так вот, если $x \in (-\infty;-1]$, то замыкаем контур вверх, если $x \in [1; \infty)$, то замыкаем контур вниз, а что делать, если $x \in (-1;1)$?

Правильный ответ $\frac{1}{2}i\sqrt{\frac{\pi}{2}}(sgn(x-1) + sgn(x+1))$. То есть при $x \in (-1;1)$ должен получаться ноль, а по идее один из интегралов при таких $x$ вообще расходится.

[no_use_for_a_login]

Чё-то я затупил

Закройте, пожалуйста, тему