Нарушение равенства для неограниченного оператора

[romanb]

Известно, что для всех $ $\ A$ $\in \mathcal{L} (\mathbf H):$\\$

$ $ker A^* = (im A)^\bot$\\ $(ker A)^\bot = im A^*$ $

Если же оператор неограничен, то равенство нарушается.
Нужно проиллюстрировать нарушение равенства, выбрав конкретный оператор и элементы пространства (как сказал преподаватель). Я не могу придумать ничего. Думал взять оператор производной. Но элементы пространства подобрать не могу. Помогите пожалуйста разобраться.

[ewert]

romanb в сообщении #730872 писал(а):

Если же оператор неограничен, то равенство нарушается.

Первое равенство верно вообще всегда, независимо от ограниченности оператора. А второе нарушается тоже независимо от ограниченности; например, оно нарушается для любого компактного, но не конечномерного. Для оператора дифференцирования (если не на конечном промежутке) тоже нарушается, конечно.