Помогите найти базис пересечения линейных оболочек

[Rebirther]

Даны такие оболочки:
$a_1=(1,2,1)$
$a_2=(1,1,-1)$
$a_3=(1,3,3)$

$b_1=(1,2,2)$
$b_2=(2,3,-1)$
$b_3=(1,1,-3)$

Я нашел базис суммы этих оболочек. Но вот с пересечением возникли проблемы. Решал с помощью подстановки справа к каждой оболочке единичной матрицы. Не получается ответ. Гугл дал очень разностороннюю информацию о алгоритмах, по которым это можно найти. Если у кого есть проверенный, действенный алгоритм, прошу поделитесь! Очень надо! :) Заранее большое спасибо! :)

[svv]

Будем считать, что $\{a_i\}_1^m$ и $\{b_i\}_1^n$ -- это базисы линейных оболочек (построенные каким-нибудь способом из двух первоначально данных систем векторов). Стало быть, система $\{a_i\}$ линейно независима, система $\{b_i\}$ также.

Любой вектор $p$, входящий в пересечение оболочек, является как линейной комбинацией $\{a_i\}$, так и линейной комбинацией $\{b_i\}$:
$p=\sum\limits_1^m \alpha_i a_i = -\sum\limits_1^n \beta_i b_i$
Значит, если пересечение содержит ненулевые векторы, система уравнений
$\sum\limits_1^m \alpha_i a_i + \sum\limits_1^n \beta_i b_i =0$
относительно $\alpha_i$, $\beta_i$ имеет нетривиальное решение. Наоборот, любое нетривиальное решение этой системы дает ненулевой вектор $p$, входящий в пересечение оболочек.

Матрица системы уравнений состоит из $m+n$ столбцов, каждый столбец содержит компоненты соответствующего вектора $a_i$ или $b_i$.

В Вашем случае обе системы векторов линейно зависимы: $2a_1=a_2+a_3$, $b_2=b_1+b_3$. Чтобы получить базисы, выбросим $a_3$ и $b_3$. Составляем систему уравнений:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\beta_1\\\beta_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}$$

Решение: $\alpha_1=2, \alpha_2=1, \beta_1=-1, \beta_2=-1$, что дает вектор
$p=2a_1+a_2=b_1+b_2=(3, 5, 1)$
Он является линейной комбинацией как векторов $a_i$, так и $b_i$, значит, принадлежит пересечению линейных оболочек.

Это мы нашли один вектор. Попробуйте сами придумать, как получить остальные, если они есть.

[Rebirther]

Спасибо вам за такой развернутый и умный ответ. Честно говоря, такого способа еще не встречал. :) И это вроде бы самый простой.
В ответ был указан только вектор, который вы нашли. Других не вижу смысла искать. Можно лучше попробовать следующий пример.
Но вот хотелось бы узнать, почему вы выкинули именно векторы $a_3$ и $b_3$?

[ewert]

Rebirther в сообщении #730842 писал(а):

почему вы выкинули именно векторы $a_3$ и $b_3$?

Очевидно, что размерность каждой линейной оболочки не меньше двух (иначе все векторы в каждой оболочке были бы пропорциональными). Но и не больше двух, т.к. в каждой тройке векторы зависимы. Следовательно, размерности равны двум, и выкинуть нужно по одному -- любому, лишь бы оставшиеся пары были независимы. А они все попарно независимы, потому и неважно, что выкидывать; так почему бы и не третьи?

Rebirther в сообщении #730842 писал(а):

В ответ был указан только вектор, который вы нашли. Других не вижу смысла искать.

Да, но обязательно нужно видеть, почему именно не видно смысла.

[svv]

Rebirther в сообщении #730842 писал(а):

Но вот хотелось бы узнать, почему вы выкинули именно векторы $a_3$ и $b_3$?

В дополнение к тому, что сказал ewert. Мне хотелось, чтобы, с одной стороны, нумерация векторов в базисах соответствовала нумерации в исходных линейно зависимых системах, а с другой, чтобы она была без "дыр".

Скажем, если бы я выбросил из первой системы вектор $a_2$, а из второй вектор $b_1$, то неизвестные были бы $\alpha_1, \alpha_3, \beta_2, \beta_3$, как-то это несимпатично. А переименовывать их, чтобы убрать пропуски -- значит запутать читателя.

[Rebirther]

Спасибо. Теперь всё понятно. Будем идти дальше по пути линейной алгебры.

[bot]

Другой вариант. Если задан базис подпространства $a_1, \ldots , a_s$, то система $(a_i, x)=0, \ i=1,\ldots, s$ задаёт ортогональное дополнение к этому подпространству. Фундаментальный набор решений даст базис этого ортогонального дополнения. По предыдущему получаем систему уравнений, задающую ортогональное дополнение к ортогональному дополнению, то есть исходное подпространство.
В результате хождений туда-сюда мы имеем способ перехода от одного задания подпространства (базисом или системой образующих) к другому - с помощью однородной системы линейных уравнений.
Теперь если даны два подпространства, то для описания их пересечения удобно их задать системами, а их пересечение будет описываться объединением систем.

[ewert]

bot в сообщении #731235 писал(а):

Теперь если даны два подпространства, то для описания их пересечения удобно их задать системами, а их пересечение будет описываться объединением систем.

Лучше сформулировать то же самое более абстрактно: ортогональное дополнение к пересечению есть сумма ортогональных дополнений. Тем самым исходная задача о поиске пересечения распадается на цепочку шаблонных.

[dimka11]

Поясните, пожалуйста, как мы нашли, что

Цитата:

Решение: $\alpha_1=2, \alpha_2=1, \beta_1=-1, \beta_2=-1$, что дает вектор

[iifat]

Обычным путём (стоило б дать цитату, по-моему, из Винни-Пуха, но, увы, память...)
Способов решения (в том числе, недоопределённых) систем линейных уравнений — их много. Хотя б метод Гаусса поищите.

[dimka11]

iifat в сообщении #1293504 писал(а):

Обычным путём (стоило б дать цитату, по-моему, из Винни-Пуха, но, увы, память...)
Способов решения (в том числе, недоопределённых) систем линейных уравнений — их много. Хотя б метод Гаусса поищите.

Получается нулевое и бесконечное количество решений, которое выражается, через свободную переменную, а как получить числовое?

[iifat]

Дык для недоопределённой — никак же ж. Если хочется примеров — можно подставить вместо свободной переменной свободное число. Если у системы бесконечное количество решений, то так оно и есть.

[dimka11]

iifat в сообщении #1293520 писал(а):

Дык для недоопределённой — никак же ж. Если хочется примеров — можно подставить вместо свободной переменной свободное число. Если у системы бесконечное количество решений, то так оно и есть.

Как тогда решение системы, из примера получили?

[Someone]

Дык, а в чём проблема-то? Ежели у Вас есть общее решение системы, выраженное через какие-то параметры, то кто мешает получить из него миллион частных, подставляя вместо параметров какие-нибудь числа?

[dimka11]

Someone в сообщении #1293538 писал(а):

Дык, а в чём проблема-то? Ежели у Вас есть общее решение системы, выраженное через какие-то параметры, то кто мешает получить из него миллион частных, подставляя вместо параметров какие-нибудь числа?

И все вектора решений, будут пересечением подпространств?