Сколько коэффициентов (не) делится на 13 ?

[DrVirogov]

Пусть $C(n)$ обозначает количество коэффициентов полинома $(x+y)^{2013}$, делящихся на $13^n$, но не делящихся на $13^{n+1}$. Требуется найти $C(n)$ для всех $n$.

(Оффтоп)

Должно получиться $C(0)=1728$, $C(1)=264$, $C(2)=22$.

[sopor]

Чтобы посчитать $C (0)$, достаточно посчитать кол-во биномиальных коэффициентов, которые не делятся на 13. Прямой подсчет показывает, что коэффициентов, делящихся на 13 всего $154+11 \cdot 12=286$. Тогда $C (0)=2014-286=1728$. Аналогично, $C (2)$ это число биномиальных коэффициентов, которые делятся на 169, и их $2 \cdot 11=22$. $C (1)=2014-C (0)-C (2)=264$

[DrVirogov]

Я поместил сюда этот пример потому, что есть интересный (ИМХО) прием, с помощью которого можно решать подобные задачи.
Вот он:
Пусть p - простое число. Запишем m и n в системе по основанию p и сложим их "столбиком". Пусть при этом сложении происходит k межразрядных переносов. Тогда p входит с показателем k в коэффициент при $x^my^n$ в $(x+y)^{m+n}$.

(Это работает, кстати, и для полиномиальных коэффициентов в разложении $(x_1+x_2+...+x_t)^{n_1+n_2+...+n_t}$)

Числа в примере выбраны из-за того, что 2013 очень просто выглядит в системе по основанию 13:
$2013=(11)13^2+(11)13+(11)$
Поэтому все рассчеты можно сделать буквально устно:
1. нет переносов - каждая цифра формируется независимо от других - $C(0)=12^3=1728$
2. один перенос - количество комбинаций для формирования разряда, в который происходит перенос, сокращается на 1, имеется только одна комбинация для разряда из которого поисходит перенос и оба возможных места для переносов эквивалентны - $C(1)=2\cdot 11\cdot 12\cdot 1=264$
3. два переноса - единственная комбинация для младшего разряда, 2 комбинации для следующего и 11 для старшего - $C(2)= 1\cdot 2\cdot 11 = 22$
Кроме того очевидно, что $C(3)=0$ и все остальные тоже.

Соображения о межразрядных переносах делают очевидными утверждения типа:
Количество нечетных коэффициентов в $(\sum\limits_{i=1}^kx_i)^n$) равно $k^t$,
где t - количество единиц в двоичном представлении n.
Если $\sum\limits_{i=1}^k(n_i\mod p) \ge tp$, то полиномиальный коэффициент $(n_1\ldots n_k)$ делится на $p^t$
и много других аналогичных.