Вектор из нормальных случайных величин

[Ward]

Добрый день, дорогие друзья!

Пусть $\xi=(\xi_1, \xi_2)$, где $\xi_1, \xi_2\sim N(0,1)$. Будет ли $\xi$ нормально распределенной?

Мое решение: Пусть $\xi_1=X\sim N(0,1)$. Определим $Y$ так, что $P\{Y=-1\}=P\{Y=1\}=\frac{1}{2}$
Возьмём $X$ и $Y$ независимыми.
Рассмотрим случайную величину $\xi_2=XY$ и найдем ее распределение:

$$P\{\xi_2\leqslant x\}=P\{XY\leqslant x\}=P\{X\leqslant x, Y=1\}+P\{-X\leqslant x, Y=-1\}=\frac{1}{2}P\{X\leqslant x\}+\frac{1}{2}P\{-X\geqslant x\}=$$

$$=\dfrac{1}{2}\left(\int \limits_{-\infty}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt+\int \limits_{-x}^{+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt\right)=\int \limits_{-\infty}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt$$

Значит, $X\sim N(0,1)$ и $XY\sim N(0,1),$ а тогда их линейная комбинация, т.е. $X+XY$ имеет нормальное распределение. Рассмотрим ее распределение:

$$P\{X+XY=0\}=P\{2X=0, Y=1\}+P\{0=0, Y=-1\}=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

Но последнее неверно. Так как величина $P\{X+XY=0\}$ очень маленькая, но никак $\frac{1}{2}$.

Верно ли решено?

[Otta]

Ward в сообщении #729448 писал(а):

Добрый день, дорогие друзья!

Пусть $\xi=(\xi_1, \xi_2)$, где $\xi_1, \xi_2\sim N(0,1)$. Будет ли $\xi$ нормально распределенной?

Условий мало. Хотя бы за независимость слово есть? И как Вам определяли многомерное нормальное распределение? Очень часто это делается с помощь характеристических функций, так там потом вообще делать нечего. Итак, Ваше определение.

[Ward]

Otta
А то, что я показал это не нужно?

[Otta]

По решению:

Ward в сообщении #729448 писал(а):

... тогда их линейная комбинация...имеет нормальное распределение.

Если они независимы. Например. Если $X$ - нормальное, то $(-X)$ - такое же нормальное, а их сумма...?

[Ward]

Все верно ведь!
Если $(X,XY)$ имеет нормальное распределение, то ее линейная комбинация в частности $X+XY$ нормально распределена, а это не так. Противоречие!

-- 28.05.2013, 14:37 --

да Otta кажется Вы прав!
Их линейная комбинация нормально распределена, если они независимы.

-- 28.05.2013, 14:39 --

А у нас $X$ и $XY$ независимы или нет?

[Otta]

Ward
Давайте уточним терминологию, пожалуйста. Что у вас значит, что вектор $(\xi,\eta)$ распределен нормально.

[Ward]

Если его совместная плотность имеет вид $f(x)=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{\text{det}C}}exp\left\{-\dfrac{1}{2}(x-m)^{T}C^{-1}(x-m)\right\}$, где $m=(\mathbb{E}\xi_1, \mathbb{E}\xi_2)$, a $C$ - матрица ковариаций

[Otta]

Ward в сообщении #729470 писал(а):

Если его совместная плотность имеет вид $f(x)=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{\text{det}C}}exp\left\{-\dfrac{1}{2}(x-m)^{T}C^{-1}(x-m)\right\}$, где $m=(\mathbb{E}\xi_1, \mathbb{E}\xi_2)$, a $C$ - матрица ковариаций

О. Убицца веником. Какое нерабочее определение.
Дело в том, что это определение - определение невырожденного нормального распределения (когда матрица ковариации имеет максимальный ранг, попросту у нас - ненулевой определитель).
И как раз с ним Вам будет легко жить.
Например, можно взять $\xi_2=-\xi_1$, матрица ковариации выйдет вырожденная, и готов, нету плотности у такого вектора. (А ее действительно нету.) Но распределение-то нормальное, вот в чем фишка. Только вырожденное, без плотности.

[Ward]

а что тогда делать?

[Otta]

Ward в сообщении #729473 писал(а):

а что тогда делать?

Хто ж его знает. А точно не определяли через характеристическую функцию? А?
Или, может, в условии компоненты были независимы? Тогда совсем легко делается.

[--mS--]

Ward в сообщении #729448 писал(а):

Но последнее неверно. Так как величина $P\{X+XY=0\}$ очень маленькая, но никак $\frac{1}{2}$.

Верно ли решено?

В тех условиях, что Вы привели (а именно, "есть две стандартные нормальные с.в., верно ли, что составленный из них вектор имеет нормальное распределение?") - верно. Только Вы, похоже, сами не понимаете, что доказываете :) Вы привели пример двух нормальных стандартных с.в. $X$ и $XY$. Если бы вектор, составленный из них, имел нормальное распределение, то их сумма тоже имела бы нормальное распределение. В крайнем случае - вырожденное, если толковать нормальное распределение так широко, как хочет Otta. Не знаю, правда, зачем. Нигде кроме многомерных предельных теорем такое толкование не нужно. Т.е. вероятность $\mathsf P(X+XY=0)$ могла бы быть лишь нулём (для нормального распределения суммы или для вырожденного не в нуле) либо единицей (для вырожденного в нуле). Впрочем, вырожденным не в нуле оно быть не может по понятным причинам - из-за матожидания, например. А она получилась равна половине. Всё.

[Ward]

--mS--
Спасибо Вам большое! Я разобрался полностью!