Помогите почувствовать градиент.

[GlazkovD]

Помогите почувствовать градиент.

Пусть L=f(x,y,z) функция скалярного поля.
Т.е в каждой точке пространства x,y,zопределена
единственная для данной точки величина L.

Grad скалярного поля это вектор,
координаты которого равны частным производным
функции данного поля в выбранной точке.

В случае L=f(x,y,z) Grad(L)=(df/dx)*i+(df/dy)*j+(df/dx)*k
Подставляя координаты любой точки данного поля в частные
производные выражения градиента, мы получаем конкретный
вектор(коэфиициенты перед ijk).

Вопрос следующий.
Допустим я нахожу Grad(L) в точке x=1;y=2;z=3.
К примеру получаю Grad(L)=1i+4j+6k в точке M0(1;2;3).
Предполагается что i,j,k это единичные орты декартовой системы координат.

Можно ли сказать что Grad(L)=1i+4j+6k это
"Направление и величина вектора, выходящего из точки, где был найден градиент".
Т.е вектор выходящий из точки M0(1,2,3) будет паралелен Grad(L)=1i+4j+6k,
и равен по величине модулю Grad(L).
При этом Grad(L) выходит из начала координат, а не из точки M0.
Из точки M0 будет выходить вектор, парралельный Grad(L) и равный ему по модулю.

Проверьте пожалуйста рассуждения.
Надеюсь я описал все рассуждения понятной форме.

Offtopic
Извините может быть за этот глупый вопрос, но в 4.11 утра сон приснился на эту тему.

[Brukvalub]

GlazkovD писал(а):

вектор выходящий из точки M0(1,2,3) будет паралелен Grad(L)=1i+4j+6k,
и равен по величине модулю Grad(L).

Это верно, но

GlazkovD писал(а):

Можно ли сказать что Grad(L)=1i+4j+6k это
"Направление и величина вектора, выходящего из точки, где был найден градиент".

А вот это не совсем верно: обычно это слова означают, что требуется указать модуль вектора и косинусы углов, которые этот вектор составляет с осями координат. Но это уже детали, суть Вы ухватили верно.

[PAV]

А вот я описания не понял. "Вектор, выходящий из точки" - не является определением этого вектора. Из любой точки можно выпустить любой вектор.

С точки зрения очень распространенных задач оптимизации градиент задает направление, при движении в котором величина поля будет расти быстрее всего. Это следует из того, что (как легко видеть из свойств дифференциального исчисления) если мы сместимся от данной точки в некотором направлении на очень малую величину, то приращение поля при этом будет с точностью до бесконечно малых более высокого порядка равно скалярному произведению градиента на вектор смещения. Так как скалярное произведение максимально, когда вектора сонаправлены, то отсюда следует утверждение, написанное выше.

[Vassil]

1. В выражении градиента производные по ортам частные, т.е.

$$ Grad \; f(x,y,z)=\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x} \; {\mathbf{i}}+\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial y} \; {\mathbf{j}}+\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial z} \; {\mathbf{k}} $$

2. Интересно, что сам градиент инвариантен по отношению перемен системы ортогональной координатной системы.

3. При предположении о гладкости $ f(x,y,z) $ , для каждого $ C $ , $ f(x,y,z)=C $ получается поверхность, характеризующаяся одинаковым уровнем. В частности для выбранной Вами точки $ (x_0,y_0,z_0) $ --- получается одна из этой фамилии поверхностей.
Так градиент в этой точке перпендикулярен касательной плоскости к вопросной поверхности в этой точке.

4. Градиент в данной точке соответствует тому направления, по которому функция поля $ f(x,y,z) $ изменяется наиболее.

[Brukvalub]

PAV писал(а):

"Вектор, выходящий из точки" - не является определением этого вектора. Из любой точки можно выпустить любой вектор.

Но в исходнике было не так:

GlazkovD писал(а):

Т.е вектор выходящий из точки M0(1,2,3) будет паралелен Grad(L)=1i+4j+6k,
и равен по величине модулю Grad(L)

Согласитесь. что логично "прикреплять" начало вектора градиента к той точек, в которой он вычислен. что соответствует идеологии касательных пространств к многообразиям и т.п. так что GlazkovD формально прав.

[sadomovalex]

Vassil писал(а):

Так градиент в этой точке перпендикулярен касательной плоскости к вопросной поверхности в этой точке.

хм, а вот это я уже забыл. Не могли бы Вы подробнее объяснить этот момент