понижение порядка в гапмильтоновой системе

[Oleg Zubelevich]

Дана гамильтонова система с гамильтонианом $H(p,q),\quad p=(p_i),q=(q^i),\quad i=1,\ldots, m$. Известна группа симметрий этой системы $g_F^t(z),\quad z=(p,q)$. Группа пораждена системой с гамильтонианом $F(p,q),\quad dF\ne 0$

Как с помощью квадратур понизить порядок системы с гамильтонианом $H$ до автономной гамильтоновой системы с $m-1$ степенью свободы?

[scwec]

П.Олвер. "Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям". 1989. Теорема 6.35 стр.499-500. Не пересказывать же, что там написано.

[Oleg Zubelevich]

ну естественно это должно было быть где-то написано. тем не мене если кому-то захочется проверить свое понимание канонического формализма -- вопрос остается, копировать технику Олвера необязательно.

[scwec]

Вполне логично.

[Oleg Zubelevich]

я бы даже сказал, что Олвер получает данный результат не самым изящным способом

[scwec]

Коротко, прцедура понижения порядка такова:
Поскольку $dF\ne{0}$, то в некоторой окрестности точки $z$ существуют симплектические (канонические) координаты $x_1,x_2,...,x_m,y_1,y_2,...,y_m$
такие, что $F(x,y)=y_m$ (гамильтонов вариант теоремы о выпрямлении). В координатах $x,y$ функция $H$ не зависит от $x_m$.
Зафиксируем $F=y_m=c$, тогда система уравнений $\dot x_k=\frac{\partial{H}}{\partial{y_k}},\dot y_k=-\frac{\partial{H}}{\partial{x_k}},(k<m)$
является гамильтоновой системой с $m-1$ степенями свободы. Найдя её решение, останется одной квадратурой найти $x_m$
из уравнения $\dot x_m=\frac{\partial{H}}{\partial{y_m}}$.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #729905 писал(а):

(гамильтонов вариант теоремы о выпрямлении

вот я на это и намекал: естественней использовать гамильтонову версию теоремы о выпрямлении, а не общую, как это делает Олвер. Кроме того, гамильтонова теорема о выпрямлении интересна сама по себе, а ее доказательство является хорошим примером применения аппарата произхводящих функций. То, что я и предполагал увидеть в этой ветке. Понятно, конечно, что Олвер не ставил перед собой задачи погружаться в канонический формализм

[scwec]

Хочу только заметить, что в любом случае, для эффективного понижения порядка с помощью $F$, нужно знать орбиты группы симметрии ${g^t}_F$ и приходится интегрировать гамильтонову систему с гамильтонианом $F$. Желательно, чтобы $F$ изначально имел простую структуру, например, $F=p_1+p_2+...+p_m$ или что-то в этом духе.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #730082 писал(а):

нужно знать орбиты группы симметрии ${g^t}_F$

разумеется, я так и написал:

Oleg Zubelevich в сообщении #729018 писал(а):

Известна группа симметрий этой системы $g_F^t(z),\quad z=(p,q)$

-- Ср май 29, 2013 18:51:43 --

кстати topic54776.html

[scwec]

Oleg Zubelevich в сообщении #730112 писал(а):

кстати topic54776.html

С темой как-то не встретился. А чего Вы решили повториться? Хотя, почему бы и нет. Вариации на тему полезны.