Еще один матбой...

[Trius]

1) Существует ли конечное множество $M$ ненулевых вещественных чисел, такая что для любого натурального $n$ cуществует полином степени не ниже чем $n$, с вещественными коефициентами из $M$, все корни которого(с учетом кратности) также принадлежат $M$?
2) Задано выпуклый многоугольник, у которого каждые две стороны не паралельны. Каждой его стороне поставим в соответствие угол, определеный следущим образом: вершина угла - наиболее отдаленная от прямой, содержащей сторону, вершина многоугольника, а сама сторона - "основание" этого угла. Доказать, что сума таких углов равна $180\circ$
3) $O$- точка внутри выпуклого четырехуголника $ABCD$, с площадью $S$. $K,L,M,N$ - такие внутренние точки сторон $AB,BC,CD,DA$ соответственно, что $OKBL$ и $OMDN$ - паралелограмы. Доказать, что $\sqrt{S}\ge \sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}$, где $S_1$,$S_2$- площади $ONAK$ и $OLCM$ соответственно.
4) Внутри выпуклого многогранника с объемом $V_1$и площей поверхности $S_1$ находится другой выпуклый многогранник с объемом $V_2$ и площей поверхности $S_2$. Тогда исполняется неравенство $3\frac{V_1}{S_1}\ge \frac{V_2}{S_2}$. Можно ли улучшить константу $3$ в этом неравенстве?
5) Назовем конечное множество разных елементом из множества натуральных чисел "эгоцентрическим", если оно содержит как елемент количество своих елементов. Найти количество подмножеств множества $\{1,2,...,n\}$, который есть минимальными эгоцентрическими множествами, тоесть такими эгоцентрическими множествами, чьи собственные подмножества не есть эгоцентрическими.
6) Пусть $x_1,x_2,...,x_n$ и $y_1,y_2,...,y_n$ - неотрицательные числа. Доказать, что
$\sum\limits_{i,j} min(x_iy_j,x_jy_i)\ge \sum\limits_{i,j} min(x_ix_j,y_iy_j)$ где сумирование ведется по всем $i,j$ от 1 до $n$
7) Доказать, что любое положительное число можно представить в виде суммы $9$ чисел, десятичная запись которых содержит только цифры $0 и 7$.
8) На прямоугольном листе бумаги в клеточку розмещено несколько прямоугольных карточек. стороны которых лежат по линиям сетки. Карточки покрывают бумагу в два слоя. Можно ли выбрать часть карточек таким образом, чтоб они покрывали всю бумагу в один слой, если размер карточек а) 1х2 б)1х3 ?

[xolms]

Цитата:

7) Доказать, что любое положительное число можно представить в виде суммы чисел, десятичная запись которых содержит только цифры 07.

Цифры 0 и 7 ?
Если так , то каждое из них делится на 7, если я не ошибаюсь, а тогда и сумма делится на 7.Что-то не так...

[Trius]

числа не обязательно целые

[neo66]

Trius писал(а):

7) Доказать, что любое положительное число можно представить в виде суммы 9 чисел, десятичная запись которых содержит только цифры 0 и 7.

Ясно, что любое положительное $x\in \mathbb{R}$число можно представить в виде суммы $9$ чисел, десятичная запись которых содержит только цифры $0$ и $1$. Представим таким образом число $\frac{x}{7}=a_1+\dots+a_9$. Тогда $x=7a_1+\dots+7a_9;$

[Trius]

neo66
ага))) именно так

[bobo]

Trius писал(а):

6) Пусть $x_1,x_2,...,x_n$ и $y_1,y_2,...,y_n$ - неотрицательные числа. Доказать, что
$\sum\limits_{i,j} min(x_iy_j,x_jy_i)\ge \sum\limits_{i,j} min(x_ix_j,y_iy_j)$ где сумирование ведется по всем $i,j$ от 1 до $n$

Если поменять местами $x_i$ и $y_i$, обе суммы не изменятся --> можно положить $y_i\ge x_i$.Дальше, кажись, все просто доказывается индукцией по $n$.

[Trius]

Для сторон треугольника $a,b,c$ и их полусуммы $p$ доказать неравенство
$\frac{a\sqrt{(p-b)(p-c)}}{\sqrt{bc}}+\frac{b\sqrt{(p-a)(p-c)}}{\sqrt{ac}}+\frac{c\sqrt{(p-b)(p-a)}}{\sqrt{ab}}\ge p$

[Trius]

1) Докажите, что для любого натурального $n$ сумма обратных величин первых $n$ чисел Фибоначчи меньше 4
2) Доказать, что из любых $n$ целых чисел можно выбрать несколько чисел так, чтоб они делились на $n$
3) Пусть $x$ и $y$ - такие действительные числа, что $x^2 + y^2, x^3 + y^3 , x^4 + y^4$ - рациональные числа. Докажите, что $xy$ тоже рациональное число.

[Brukvalub]

Trius писал(а):

2) Доказать, что из любых $n$ целых чисел можно выбрать несколько чисел так, чтоб они делились на $n$

Попробуйте сделать это для чисел 3 и 5?

[Trius]

Ой, там должно быть " чтоб их сумма делилась на $n$"

[Руст]

Trius писал(а):

1) Докажите, что для любого натурального $n$ сумма обратных величин первых $n$ чисел Фибоначчи меньше 4
2) Доказать, что из любых $n$ целых чисел можно выбрать несколько чисел так, чтоб они делились на $n$
3) Пусть $x$ и $y$ - такие действительные числа, что $x^2 + y^2, x^3 + y^3 , x^4 + y^4$ - рациональные числа. Докажите, что $xy$ тоже рациональное число.

1. Просто с учётом экспоненциального роста. Сумма всех обратных величин порядка 3.4, интересно можно ли считать точное значение?
2. Берём S(k)=x(1)+x(2)+...x(k). Если все они отличны от нуля по модулю n, то найдутся две с одинаковым остатком при делении n, соответственно их разность даст требуемое.
3. Обозначим соответствующие суммы z(2),z(3),z(4). При этом $q^2=\frac{z_2^2-z_4}{2}, q=xy$. Если такое вычисление не дает 0, можно вычислить по другой формуле $q=\frac 32 z_2+\frac{z_3^2-z_2^3}{z_2^2-z_4}\in Q$.

[arqady]

Trius писал(а):

Для сторон треугольника $a,b,c$ и их полусуммы $p$ доказать неравенство
$\frac{a\sqrt{(p-b)(p-c)}}{\sqrt{bc}}+\frac{b\sqrt{(p-a)(p-c)}}{\sqrt{ac}}+\frac{c\sqrt{(p-b)(p-a)}}{\sqrt{ab}}\ge p$

$\sin\frac{\alpha}{2}\leq\frac{a}{b+c}.$

[Ktina]

Руст в сообщении #82800 писал(а):

Trius писал(а):

1) Докажите, что для любого натурального $n$ сумма обратных величин первых $n$ чисел Фибоначчи меньше 4

1. Просто с учётом экспоненциального роста. Сумма всех обратных величин порядка 3.4, интересно можно ли считать точное значение?

Отношение пятого члена к четвёртому (сиречь, отношение 5 к 3) превышает $\frac{3}{2}$, но не превышает 2 меньше 2.
Если отношение $b$ к $a$ превышает $\frac{3}{2}$, но не превышает 2 меньше 2, то и отношение $a+b$ к $b$ - тоже.
Таким образом, биргетит суммы $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\dots$ равен сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии c первым членом "половинка" и со знаменателем "одна полуторная", то есть, равен 1,5.
Добавим к этому биргетиту сумму обратных величин первых двух членов и получим 3,5.

Таким образом, сумма обратных величин всех чисел Фибоначчи меньше 3,5.

Руст в сообщении #82800 писал(а):

...интересно можно ли считать точное значение?

Вот и мне страшно интересно, потому-то и не побоялась некропостить.