Изопериметическая задача

[Xbaaf]

Нужно решить изомериметрическую задачу следующего вида:

Я поступил так же, как в примере из "Сборника задач по оптимизации" Галеева и Тихомирова

$$ \int_0^1 \! \dot x ^2dt ,\int_0^1xe^t dt=0 , x(1)=1. $$

1. Составляем Лагранжиан:

$$ L = \lambda_0 \dot x^2 +\lambda xe^t; $$

2. Составляем уравнение Эйлера:

$$ -\frac{d}{dt}L_{\dot x}+L_x = 0 $$

Находим нужные призводные:

$$ L_x=\lambda e^t, $$

$$ L_{\dot x} = 2\lambda_0 \dot x, $$

$$ {d}{dt}L_{\dot x} = 2\lambda_0 \ddot x $$

Тогда

$$ -2\lambda_0 \ddot x + \lambda e^t=0. $$

При $\lambda_0 = 0$ $\lambda=0$ и допустимых экстремалей нет.
Пусть теперь $\lambda_0 = \frac{1}{2}$, тогда

$$ \ddot x = \lambda e^t, $$

$$ x = c_2t+c_1+ \lambda e^t. $$

В "Сборнике" разбирался такой же интеграл, а в качестве интегранта был просто $\int_0^1x$, получалось уравнение вида $\ddot x = \lambda$, его решение вообще - $x=c_1+c_2t + \frac{\lambda t^2}{2}$. В "Сборнике " решение представляется в виде $x = c_1t^2+c_2t+c_3$. Как я понимаю, $\lambda$ тут упрятано в $c_1$.

Спрашивается - куда деть $\lambda$ в моём случае и что делать с $e^t$?

[Xbaaf]

Разобрался сам: достаточно положить $\lambda = c_3$. Вопрос решён :)