Переменные "действие-угол"

[agent150]

Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, как вводить переменные "действие-угол" в многомерном случае? Может есть какая-нибудь литература на русском? Конкретно нужно ввести переменные "действие-угол" для гамильтониана:

$$H=\frac{p^2_x+p^2_y}{2}+U(x)-\alpha x y,$$

где:

$$U(x)=\begin{cases}0, \;|x|<\frac{a}2; \\{\infty}, \;|x| \geqslant \frac{a}2;\end{cases}$$

Но вообще интересует общий вопрос. Как поступать в не одномерном случае?

[agent150]

Хмм. Может не в ту тему запостил. Модераторы перенесите в общий раздел физики, пожалуйста.

[Oleg Zubelevich]

а почему вообще в произвольной системе должнны существовать переменные действие-угол? функции еще какие-то равные бесконечности. бред

[agent150]

В одномерном случае бесконечный потенциал в виде ямы не вызывает никаких проблем. А какие критерии на систему для того, что бы было возможно ввести эти переменные? Просто вообще нет никакой литературы на русском. Точнее есть работа Нехорошева Н.Н. "Переменные действие-угол и их обобщения", но эти слишком сложно прочитать. Ну а вообще, не с этим гамильтонианом, как поступать?

[Alex-Yu]

agent150 в сообщении #728757 писал(а):

А какие критерии на систему для того, что бы было возможно ввести эти переменные?

У системы должно быть N (число степеней свободы) интегралов движения, скобка Пуассона любой пары из которых равна нулю. Впрочем, в последнее время разработаны так называемые некоммутативные методы, при которых условие равенства нулю указанных скобок Пуассона заменяется на условие, чтобы эти наблюдаемые составляли алгебру Ли (т.е. скобка Пуассона любой пары из N наблюдаемых должна быть равна не обязательно нулю, но линейной комбинации этих N наблюдаемых).

Но это все, на сколько мне известно, лишь теоремы существования -- вещь абсолютно бесполезная. А как строить переменные действие-угол конструктивно (хотябы в классическом, коммутативном случае) я сам бы хотел знать.

Замечу, что если есть не N, а 2N наблюдаемых, скобка Пуассона которых выражается линейно через эти 2N наблюдаемых, то нахождение решений становится тривиальным: сводится к системе линейных уравнений. Так что в содержательном смысле задача заключается в том, чтобы из набора из N наблюдаемых построить 2N наблюдаемых, порождающих алгебру Ли относительно скобки Пуассона.

[Oleg Zubelevich]

1) Правильные условия существования переменных действие-угол и то как их строить написано в учебнике Арнольда Мат. методы класс. механики.

2) система ДУ (автономная) порядка $n$ интегрируется явно при наличии $n-1$ независимых первых интегралов.