Является ли функция характеристической?

[nscm]

Здравствуйте, помогите разобраться с задачей.
Является ли функция $e^{-t^{4}}$ характеристической? Я знаю, что ответ - нет, не является.
Если использовать свойство про связь моментов с.в. и производных х.ф., получим, что первые и вторые моменты в нуле равны нулю, таким образом (из-за второго момента) получается, что с.в. имеет вырожденное распределение, а у него другая х.ф. Но здесь я пропускаю начало свойства, в котором говорится: "Если абсолютный момент $k$-го порядка меньше бесконечности, то выполняется эта связь". Но как проверить этот момент? может быть он и больше бесконечности, я ведь не знаю что это за с.в. И что тогда?

[g______d]

nscm в сообщении #727514 писал(а):

Но здесь я пропускаю начало свойства, в котором говорится: "Если абсолютный момент $k$-го порядка меньше бесконечности, то выполняется эта связь". Но как проверить этот момент?

Плотность распределения является обратным преобразованием Фурье от х. ф. В данном случае х. ф. со всеми производными убывает быстрее любой степени, т. е. принадлежит классу Шварца. Значит, то же верно и для ее преобразования Фурье. Т. е. все моменты существуют.

[provincialka]

(Оффтоп)

nscm в сообщении #727514 писал(а):

может быть он и больше бесконечности,

ну уж и больше

[--mS--]

nscm в сообщении #727514 писал(а):

Но как проверить этот момент? может быть он и больше бесконечности, я ведь не знаю что это за с.в. И что тогда?

Поищите обратные свойства. Что-нибудь следует из существования производных чётных порядков в нуле?

[nscm]

Цитата:

Что-нибудь следует из существования производных чётных порядков в нуле?

Да,есть свойство : Если существует и является конечной $ { \varphi }^{ (2n) } (0)$, то $M{ \xi }^{ 2n } < \infty $. Если доказать это, топотом можно будет пользоваться тем , что я написала выше. Мною оно было найдено в двух учебниках - Ширяев "Вероятность" и Боровков "Теория вероятностей". Доказательство проводится по индукции. Я понимаю как они это доказали, если делать обратный ход и смотреть с последнего равенство на предпоследнее и так до первого. А если с начала, то не понимаю почему у них так получилось. И вот вопрос - с конца там нужно рассуждать или нет?
Вот само доказательство в книге:

[ewert]

nscm в сообщении #727723 писал(а):

А если с начала, то не понимаю почему у них так получилось.

У них знак неудачно выбран, и это сбивает с толку. Надо было так: $-\varphi''(0)=\ldots=\lim\limits_{h\to0}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\dfrac{\sin hx}{hx}\right)^2x^2dF(x)$, откуда, например, $\int\limits_{-R}^{R}x^2dF(x)\leqslant-2\,\varphi''(0)$ для любого фиксированного $R$ и, следовательно, $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2dF(x)<+\infty$.