Уравнение для рационального кубоида

[Коровьев]

Рациональный кубоид - это параллелепипед, у которого все стороны и все диагонали рациональные числа.
"Золотой" кирпич - это параллелепипед, у которого все стороны и все диагонали целые числа.
Понятно, что из рационального кубоида можно получить "Золотой" кирпич, домножив все стороны на некое число.

Задача.
Составить диафантовое уравнение от трёх переменных, все решения которого позволяли бы найти все рациональные кубоиды (если таковые существуют, в чём многие сомневаются) с точностью до постоянного множителя.

[scwec]

Демонстрируя некоторую осведомленность, привожу искомое уравнение. Оно описывает совершенный кубоид с единичной пространственной диагональю. Умножением на подходящее число из этого совершенства получается любое другое совершенство.
$v^4\alpha^4\beta^4+(6\alpha^4v^2\beta^4-2v^4\alpha^4\beta^2-2v^4\alpha^2\beta^4)+(4v^2\beta^4\alpha^2+4\alpha^4v^2\beta^2-12v^4\alpha^2\beta^2+v^4\alpha^4+v^4\beta^4+\alpha^4\beta^4)+(6\alpha^4v^2+6v^2\beta^4-8\alpha^2\beta^2v^2-2v^4\alpha^2-2v^4\beta^2-2\alpha^4\beta^2-2\beta^4\alpha^2)+(v^4+\beta^4+\alpha^4+4\alpha^2v^2+4\beta^2v^2-12\beta^2\alpha^2)+(6v^2-2\alpha^2-2\beta^2)+1=0$
Такое уравнение 12 порядка от трех переменных (а также и другие уравнения) рассматривается в статьях Р.А.Шарипова.
Например: "Неприводимые полиномы в задаче о совершенном кубоиде", Уфимский математический журнал Том 4. № 1 (2012). стр.153-160.
Может, у Вас есть что-нибудь попроще?

[Коровьев]

Видел я подобное уравнение, страшно не только смотреть , но и давать как олимпиадную задачу.

Поставлю задачу по другому.
Дано уравнение:

$$\left( {\frac{{2x}}{{1 - x^2 }}} \right)^2 + \left( {\frac{{2y}}{{1 - y^2 }}} \right)^2 = \left( {\frac{{2z}}{{1 - z^2 }}} \right)^2 $

Доказать, что все его решения позволяют найти все рациональные кубоиды (если таковые существуют, в чём многие сомневаются) с точностью до постоянного множителя.
Поправляю.
"все его рациональные решения "

[Коровьев]

Сначала покажу, что рациональные решения этого уравнения - достаточные условия существования полного кубоида.
Пусть исходное уравнение верно для некоторых рациональных $x,y,z$
Примем за стороны кубоида:
$$a = \frac{{2x}}{{1 - x^2 }}$

$$b = \frac{{2y}}{{1 - y^2 }}$

$$c=1$

Тогда боковые диагонали будут равны
$$d_{ac} ^2 = a^2 + c^2 = \left( {\frac{{2x}}{{1 - x^2 }}} \right)^2 + 1 = \left( {\frac{{1 + x^2 }}{{1 - x^2 }}} \right)^2$

$$d_{bc} ^2 = b^2 + c^2 = \left( {\frac{{2y}}{{1 - y^2 }}} \right)^2 + 1 = \left( {\frac{{1 + y^2 }}{{1 - y^2 }}} \right)^2 $

$$d_{ab} ^2 = a^2 + b^2 = \left( {\frac{{2x}}{{1 - x^2 }}} \right)^2 + \left( {\frac{{2y}}{{1 - y^2 }}} \right)^2 = \left( {\frac{{2z}}{{1 - z^2 }}} \right)^2 $ - по условию.

Главная диагональ
$$d_{abc} ^2 = d_{ab} ^2 + c^2 = \left( {\frac{{2z}}{{1 - z^2 }}} \right)^2 + 1 = \left( {\frac{{1 + z^2}}{{1 - z^2 }}} \right)^2$

Осталось доказать что исходное уравнение описывает все возможные полные рациональные кубоиды.

[scwec]

Пусть полный рациональный кубоид существует и длины его ребер $a,b,c$.
Рассмотрим подобный кубоид с длинами рёбер $A=\frac{a}{c},B=\frac{b}{c},C=1$.
Тогда $A^2+B^2=u^2, A^2+1=v^2, B^2+1=w^2, u^2+1=r^2$, где $u,v,w,r$ - рациональные числа. Отсюда, существуют рациональные $x,y,z$ такие, что $A=\frac{2x}{|1-x^2|},B=\frac{2y}{|1-y^2|},u=\frac{2z}{|1-z^2|}$ и $(\frac{2x}{1-x^2})^2+(\frac{2y}{1-y^2})^2=(\frac{2z}{1-z^2})^2$ ч. и т.д.

[Коровьев]

Красивая проблема - красивое уравнение.
Заменив правую часть на квадрат переменной
$$\left( {\frac{{2x}}{{1 - x^2 }}} \right)^2 + \left( {\frac{{2y}}{{1 - y^2 }}} \right)^2 =z^2$
мы получим уравнение для кубоида Эйлера, в котором стороны и боковые диагонали рациональные числа. (Главная диагональ - что получится. Но пока получается всё время нерациональной. ) Это уравнение уже имеет параметрические решения.
Ещё есть пара неполных кубоидов для которых тоже можно составить подобные уравнения и которые также имеют параметрические решения.
1. Кубоид с одной нерациональной диагональю
2. Кубоид с одной нерациональной стороной.

Оставлю для желающих найти эти уравнения.

[scwec]

Если не ошибся, то ответы такие:
$1.$ $(\frac{2x}{1-x^2})^2-(\frac{2y}{1-y^2})^2=z^2$

$2.$ $(\frac{1+x^2}{1-x^2})^2-(\frac{2y}{1-y^2})^2=z^2$.

Предлагаю найти какие-нибудь нетривиальные рациональные параметрические решения для обоих случаев. (Для первого случая Коровьев уже писал их в другой теме).

[Yu_K]

(Оффтоп)

http://arxiv.org/pdf/0907.0220.pdf - косой-то кубоид целочисленный оказывается существует


There are parallelepipeds with edge lengths, face diagonal lengths and
body diagonal lengths all positive integers. In particular, there is a parallelepiped
with edge lengths 271, 106, 103, minor face diagonal lengths 101,
266, 255, major face diagonal lengths 183, 312, 323, and body diagonal
lengths 374, 300, 278, 272. Focused brute force searches give dozens of
primitive perfect parallelepipeds. Examples include parallellepipeds with
up to two rectangular faces.

[Ruslan_Sharipov]

Yu_K в сообщении #1069294 писал(а):

http://arxiv.org/pdf/0907.0220.pdf - косой-то кубоид целочисленный оказывается существует

Верно. Косоугольный кубоид можно давать школьникам. Только не как олимпиадную задачу, а, скажем, как тему для школьного реферата. Школьники сейчас пишут рефераты, хотя в моё время, в 1970-х, у нас в школе рефератов не писали.

Но вернёмся к кубоиду. Есть такой профессор Walter Wyss. Он из University of Colorado Boulder. В 2015 году он опубликовал статью, точнее три версии одной статьи arXiv:1506.02215v1, arXiv:1506.02215v2, arXiv:1506.02215v3. Есть ещё четвёртая версия arXiv:1506.02215v4, которая выглядит как дубликат третьей. В этой статье он рассматривает наклонные совершенные кубоиды, у которых допускается только одна пара параллельных граней, отличных от прямоугольника, и находит двухпараметрическое семейство таких кубоидов. Затем доказывает, что прямоугольных совершенных кубоидов среди них нет. Решив, что он описал все наклонные кубоиды своим двухпараметрическим семейством, он называет статью "No Perfect Cuboid". Через некоторое время, осознав ошибку, он публикует вторую версию статьи, которая называется "On Perfect Cuboids".

Проходит год и в 2016 году Walter Wyss публикует третью и четвёртую версию своей статьи. В PDF файле они обе называются "No Perfect Cuboid". По тексту эти версии выглядят идентичными. В них Walter Wyss предлагает новое доказательство отсутствия прямоугольных совершенных кубоидов уже среди всех наклонных с одной парой возможно не прямоугольных граней. Но увы, это доказательство тоже содержит ошибку. Задача о прямоугольных совершенных кубоидах, известная с 1719 года, остаётся открытой!