Нестандартные четырёхугольники

[Ktina]

Пусть выпуклый четырёхугольник называется нестандартным, если в нём существует такая точка $P$, что сумма расстояний от неё до вершин больше периметра этого четырёхугольника.
Существует ли нестандартный четырёхугольник?


У меня решение было немного арифметическое:

Пусть наш четырёхугольник образован точками

$$(0, 0),\quad (1, 7),\quad (0, 8),\quad (-1, 7)$$

Тогда сумма расстояний от точки $(0, 1)$ до вершин равна

$$8+2\sqrt{37}>20$$

А периметр равен

$$2\sqrt{2}+2\sqrt{50}<19$$

В официальном решении пример немного иной. У них там $AD=BD=CD$

Интересно было бы дальше порассуждать.
Какие вообще бывают нестандартные четырёхугольники? Существует ли предел отношения суммы расстояний от точки $P$ до вершин к периметру? Мне кажется, что этот предел равен $\frac{3}{2}$. Во всяком случае, если обобщить мой пример и построить четырёхугольник

$$(0, 0),\quad (1, n-1),\quad (0, n),\quad (-1, n-1)$$

и взять в нём точку $(0, 1)$, то сумма расстояний будет больше $3n-4$, а периметр будет меньше $2n+3$.

[ИСН]

Берём тупо любой треугольник $ABD$. Проводим окружность с центром в $A$ и радиусом $AB+AD$. Где угодно за пределами этой окружности ставим точку $C$. Так вот, $ABCD$ - это наш нестандартный четырёхугольник.

[Shadow]

Мне тоже кажется, что предел будет $3/2$ На примере четырехугольника по ссылке - "почти" равнобедренный треугольник с очень малый угол при вершине и точка на высоте очень близка к вершине. Тогда расстояние от нее до других вершин будет близко к бедрам, расстояние до других вершин - к высоте, т.е тоже к бедрам.
Можно попытатся доказать, что уменьшать угол при ближайшей вершине выгодно...пока только нестрогие рассуждения

[TOTAL]

Четырехугольник со сторонами $a_i$ разобьем диагоналями на 4 треугольника. В одном из этих треугольников лежит точка, расстояния которой от вершин равны $r_i$. С помощью неравенств треугольника получаем два неравенства, складывая которые, приходим к $r_1 + r_2 + r_3 + r_4 \le a_1 + a_2 + 2a_3.$ Дальше очевидно. (Это к доказательству о том, что сумма расстояний превосходит периметр менее чем на 50%)

[Cash]

В источнике, который указан в официальном решении, этот вопрос разобран (решение задачи 5-10).