2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сколько вещественных решений имеет уравнение?
Сообщение21.05.2013, 13:50 
Аватара пользователя
Сколько вещественных решений имеет уравнение?
$$\{(x+1)^4\}=x^4$$
($\{a\}$ -- это дробная часть вещественного числа $a$)

 
 
 
 Re: Сколько вещественных решений имеет уравнение?
Сообщение21.05.2013, 14:11 
Что-то около шестнадцати.

 
 
 
 Re: Сколько вещественных решений имеет уравнение?
Сообщение21.05.2013, 14:24 
Аватара пользователя
У меня 15 получилось

 
 
 
 Re: Сколько вещественных решений имеет уравнение?
Сообщение21.05.2013, 15:02 
И у меня 15 выходит. Вещественные корни уравнений
$(x+1)^4-x^4=k$ для целых $k \in [0;15)$

-- 21.05.2013, 15:04 --

$k=[(x+1)^4]$

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение21.05.2013, 18:29 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Перенёс в более подходящий раздел

 
 
 
 Re: Сколько вещественных решений имеет уравнение?
Сообщение21.05.2013, 18:50 
1. Записать уравнение в виде $y^4-(y-1)^4=[y^4], y \in (0;2),y^4 \in [0;16), [y^4]=k \in [0;15]$
2. Доказать монотонност функции $f(y)=y^4-(y-1)^4-k$ (т.е единственость вещественного корня)
3. Доказать, что этот корень находится в интервале $[\sqrt[4]{k};\sqrt[4]{k+1})$, т.е показать, чтo
$\\f(\sqrt[4]{k}) \le 0\\
f(\sqrt[4]{k+1}) > 0\\$

для всех $k \ne 15$

Может я не вижу совсем елементарное решение, но...по моему задача вполне себе интересная.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group