Проверьте пожалуйста тройной интеграл

[Trurlol]

Необходимо найти объем тела ограниченного поверхностями $z = 6 - x^2 - y^2, z = \sqrt{x^2 + y^2}$, сами поверхности http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+z+%3D+sqrt%28x%5E2+%2B+y%5E2%29%2C+z+%3D+6+-+x%5E2+-+y%5E2

$V = \iint_G_{xy} dxdy \int_{\sqrt{x^2 + y^2}}^{6 - x^2 - y^2} dz = \iint_G_{xy} (6 - x^2 - y^2 - \sqrt{x^2 + y^2})dxdy = (\star) $

$x = \rho \cos\varphi, y = \rho \sin\varphi, dxdy \to \rho d\rho d\varphi$

$(\star) = \iint_{\rho\leq\sqrt{2}} [6 -(\rho^{2} \cos^2\varphi + \rho^{2} \sin^2\varphi) - \sqrt{\rho^{2} \cos^2\varphi + \rho^{2} \sin^2\varphi}] \rho d\rho d\varphi = $$\iint_{\rho\leq\sqrt{2}}[6 - \rho^2 - \rho] \rho d\rho d\varphi = \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^{\sqrt{2}} [6\rho - \rho^3 - \rho^2] d\rho = $$\int_0^{2\pi} (6 - 1 - \frac{\sqrt{8}}{3}) d\varphi = (5\varphi - \frac{\sqrt{8}}{3}\varphi) \bigg|_0^{2\pi} = 10\pi - \frac{2\pi\sqrt{8}}{3}$

[SpBTimes]

Почем по $\rho$ такие пределы?

[Trurlol]

Я исходил из вот этого http://www.wolframalpha.com/input/?i=sq ... %5E2+%3D+6 окружность радиусом 2. По правде говоря я не совсем понимаю как в данном случае стоит поступать с $\rho$, возможно стоит указать что предел от $0$ до $\sqrt{6}$? Или же если радиус равен 2, то тогда пределы от $0$ до $\sqrt{4} = 2$?

[Shtorm]

Trurlol, вот Вы определили, что это окружность радиусом равным $2$. И теперь, поскольку Вы работаете в полярных координатах нужно эту окружность записать в полярных координатах. Уравнение будет $\rho=2$. Таким образом полярный радиус у Вас будет меняться от нуля до двух.

[Trurlol]

Большое спасибо за разъяснения, дальше дело техники.