Теорема Виета для полиномов

[Rostislav1]

Нужно выяснить с помощью теоремы Виета, при каком значении a полином $\[{x^5} - a{x^2} - ax + 1\]$ имеет корень -1 не ниже второй кратности.
Знаю как решить, например, с помощью производной, но понятия не имею - как с помощью Теоремы Виета

[ewert]

Вообще-то задачка действительно выглядит странно, но можно, скажем, так. Обозначить корни через $p,q,r,-1,-1$. Выразить через них по Виету коэффициенты при 4-й, 3-й и 0-й степенях и приравнять их, соответственно, к 0, 0 и 1 -- левые части будут комбинациями из суммы, произведения и суммы парных произведений от $p,q,r$. Но и коэффициент при 1-й степени тоже будет комбинацией того же самого, откуда и находим $a$. После чего остаётся лишь проверить, что это $a$ действительно подходит.

Хотя это и глупо.

[Rostislav1]

Я сомневаюсь на счет -1, т.к. она там странно написана и возможно я чего-то не понял. по этому прикреплю фото задания
. Мое задание 21-е. в 23-м,кстати, единица тоже странно написана. Может быть это не единица

[provincialka]

А вы уверены, что по Виету? Где это написано? Числа $-1$ и $1$ написаны четко. Ведь именно $-1$ является корнем вашего уравнения при любом $a$

[Rostislav1]

да, задание звучит так: "Пользуясь теоремой Виета, решить следующие задачи." Просто именно здесь 1 и -1 курсивом написаны, вот меня это и насторожило:)

-- 19.05.2013, 11:57 --

ewert, сделал так, как Вы сказали - вот, что вышло
$\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} pqr = 1 \hfill \\ - pqr + 2pq + 2qr + r = 0 \hfill \\ - 2pqr + qr = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right\} \hfill \\ p = \frac{1}{2};r = \pm 2;q = \pm 1;p,q,r \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \]$
Как от сюда а находить?

[arqady]

Rostislav1 в сообщении #725656 писал(а):

Знаю как решить...

Ну и всё! Пишите так: поскольку теорема Виета верна, то ... и пишите Ваше решение.
Ведь это она, родная, вдохновила Вас найти решение! Кто бы сомневался.
Каков вопрос - таков ответ.

[Rostislav1]

Что-то я не особо понял - Раз теорема Виета верна, значит можно "а" с помощью производных найти? Но в задании же нужно с помощью теоремы Виета найти "а"...

[arqady]

Rostislav1 в сообщении #725686 писал(а):

Что-то я не особо понял - Раз теорема Виета верна, значит можно "а" с помощью производных найти?

Так Вы же задачу решили! Значит, утверждение истинно и задание выполнено!
Видимо, автор поленился придумать задачу на какую-то свою идею и пошёл по пути наименьшего сопротивления и взял для этого примитивную. Так пусть получит!
Кстати, можно и без производных.

[iifat]

Rostislav1 в сообщении #725666 писал(а):

Как от сюда а находить?

Ну, раз вы знаете все пять корней многочлена (ну да, несколько наборов по пять), вас не затруднит выписать соответствующие многочлены, посмотреть, подпадает ли их вид под нужный вам и выяснить $a$

-- 19.05.2013, 21:47 --

Либо расписать две формулы для $a$ по той же теореме Виета, подставить корни и, в случае совпадения результатов, вот оно, решение.

[Rostislav1]

Но мне же нужно найти а только для корня x = -1?

[arqady]

iifat в сообщении #725691 писал(а):

Ну, раз вы знаете все пять корней многочлена...

Не знает он...

[ewert]

Rostislav1 в сообщении #725666 писал(а):

вот, что вышло
$\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} pqr = 1 \hfill \\ - pqr + 2pq + 2qr + r = 0 \hfill \\ - 2pqr + qr = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right\} \hfill \\ p = \frac{1}{2};r = \pm 2;q = \pm 1;p,q,r \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \]$

Этого не может быть потому, что этого не может быть никогда: выражения не симметричны относительно перестановок $p,q,r$.

[Rostislav1]

Цитата:

выражения не симметричны относительно перестановок

Страшные для меня вещи вы говорите :). т.е. я p,q,r не верно нашел? или вся система не верна?

[ewert]

Rostislav1 в сообщении #725702 писал(а):

т.е. я p,q,r не верно нашел? или вся система не верна?

И то, и другое, и даже третье. Система неверна, и корни найдены неверно. И, что самое главное, их и невозможно найти однозначно, и не нужно, а нужно найти лишь их комбинации $p+q+r$, $pq+qr+pr$ и $pqr$ -- именно через эти комбинации выражается коэффициент при 1-й степени. Но для этого, конечно, надо сначала правильно составить систему.

[provincialka]

Степень многочлена нечетная, поэтому произведение корней равно свободному члену с минусом. Второй коэффициент (при $x^4$) связан с суммой корней, а следующий - с суммой попарных произведений.