Мат.ожидание.

[cool.phenon]

Нужно посчитать мат.ожидание величины $\eta=\max(\theta_{0}-\min(\xi_{i});\max(\xi_{i})-\theta_{0})$, где $\xi_{1},\xi_{2}...\xi_{n}$ - выборка из равномерного распределения на отрезке $[\theta_{0}-h;\theta_{0}+h]$. С формулами знаком, пробовал обе
$\begin{center}M\eta=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{x{{p}_{\eta }}\left( x \right)}dx=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{g\left( x \right){{p}_{\xi }}\left( x \right)}dx \end{center}$.
Но всегда выскакивала какая-то ошибка. Как сделать это наиболее рационально?

[--mS--]

Положить $\theta_0=0$, заменить Вашу с.в. на $\max_i |\xi_i|$ и сразу написать ответ: искомое матожидание есть $h\frac{n}{n+1}$.

[cool.phenon]

Спасибо, здесь разобрался. Ответ получился такой же, как у Вас. Но как быть, когда $\theta_{0}$ - не нуль?

[--mS--]

А какая разница?

[cool.phenon]

Вот здесь ступор. Натолкните, пожалуйста, на идею, как показать, что это мат.ожидание не зависит от $\theta_{0}$.

[--mS--]

Сдвиньте все величины на $\theta_0$.

[cool.phenon]

То есть, если, например, плотность была сосредоточена на $[0;h]$, то теперь на $[\theta_{0};\theta_{0}+h]$?

[cool.phenon]

Предыдущее сообщение не читайте. На самом деле,

$$f(x)=n\left(\int\limits_{0}^{x}{p(t)dt}\right)^{n-1}(p(x)+p(-x))= n\left(F(\theta_{0}+x)-F(\theta_{0}-x)\right)^{n-1}(p(\theta_{0}+x)+p(\theta_{0}-x)),$$

ведь так? $f$-плотность величины $\eta$,$p$-плотность равномерного распределения.

[--mS--]

А можно, я лучше последнее сообщение читать не буду?

Сдвиньте все случайные величины на $\theta_0$. Т.е. заведите новые величины $\eta_i=\xi_i-\theta_0$.

[cool.phenon]

Да, так и думал. (Ну, правда, Вы потом еще дописали )
$\max(\theta_{0}-\min(\xi_{i});\max(\xi_{i})-\theta_{0})=\max(\left|\eta_{i}\right|)$. И так как можем такое сделать в любом случае, то от $\theta_{0}$ ничего не зависит.