Перестановки и суммы

[Ktina]

Для каждой перестановки

$$a_1, a_2, \dots , a_n$$

натуральных чисел $1, 2, \dots , n$ определим сумму

$$\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{i}$$

а) Найти такое $n\in\mathbb N$, при котором множество всех возможных значений этой суммы содержит подмножество

$$S=\{n, n+1, n+2, \dots , n+2013\}$$

б) (исследовательская) Постарайтесь найти как можно меньшее такое $n$, а в идеальном случае постарайтесь доказать, что оно минимальное.

[MrDindows]

а)
Если нам нужно получить сумму $n+t$, можно в прямой перестановке поменять местами $2t$ пар вида $\{k, 2k\}$, где $k$ - нечётное. Соответственно для условия задачи хватит $n = 8052$.
б) Судя по тому, что для $n=15$ можно получить все суммы до $n+21$ включительно, думаю, что для 2013 $n$ должно быть где-то 400-450.

[Ktina]

MrDindows в сообщении #725430 писал(а):

а)
Если нам нужно получить сумму $n+t$, можно в прямой перестановке поменять местами $2t$ пар вида $\{k, 2k\}$, где $k$ - нечётное. Соответственно для условия задачи хватит $n = 8052$.

Только не 8052, а $8n-2$, где $n=2013$, то есть 16102.