Интеграл

[Limit79]

$\int \ln(1-x) dx = x \ln(1-x)-x+\ln|x-1|+C$

В учебнике ответ: $(x-1)\ln(1-x)-x+C$

Не могу понять, на каком основании они опускают модуль?

[Ms-dos4]

А с чего бы ему там взяться?
$\[\int {\ln (1 - x)dx} = - \int {\ln (1 - x)d(1 - x)} = (x - 1)\ln (1 - x) - x + C\]$
Исходная функция определена при $\[x < 1\]$, первообразная тоже.
Грубо говоря, мы интегрируем лишь на этом "луче".

[Limit79]

Ms-dos4
Данная задача находится в разделе "интегрирование по частям", и в решении выходит $\int \frac{dx}{x-1}$.

[Ms-dos4]

Цитата:

Данная задача находится в разделе "интегрирование по частям", и в решении выходит

И что с того? Я уже сказал, что исходная функция определена на $\[( - \infty ;1)\]$, первообразная должна быть определена там же. Интегрируем мы только на $\[( - \infty ;1)\]$, ибо вне этого промежутка оно теряет смысл ввиду того, что подынтегральная функция там неопределена.

[Limit79]

Ms-dos4
А, то есть модуль опускается как раз из-за этого. Понял, спасибо.