2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Целочисленное программирование: отсутствует оптимальное реш
Сообщение22.04.2007, 07:55 


22/04/07
2
Помогите, пожалуйста, решить задачу:
Доказать, что задача целочисленного программирования
max \left\{x_1-\sqrt{2} x_2|x_1 \geqslant {1}, x_1\leqslant \sqrt{2} x_2 , (x_1,x_2)\in Z_{+}^{2}\right\}
не имеет оптимального решения.

Ясно, что x_1-\sqrt{2} x_2\leqslant {0}. При этом равно нулю это выражение быть не может, из-за последнего ограничения. Я пыталась подставлять -1, -2 и т.д.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.04.2007, 09:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
По сути требуется показать, что для любых допустимых $(x_1,x_2)$ можно найти такие допустимые $(y_1,y_2)$, что $x_1-\sqrt2\,x_2<y_1-\sqrt2\,y_2<0$. Это можно делать разными способами. Например, можно взять $y_1=ax_1+bx_2$, $y_2=cx_1+dx_2$ с подходящими постоянными $a,b,c,d\in\mathbb{N}$ (попробуйте подобрать их самостоятельно).

 Профиль  
                  
 
 А как насчет пары (2,2)?
Сообщение22.04.2007, 09:49 


03/09/05
217
Bulgaria
Если я чего-то не недопонял, то пара (2,2) как будто является решением?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.04.2007, 10:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Vassil писал(а):
Если я чего-то не недопонял, то пара (2,2) как будто является решением?

Решением чего?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.04.2007, 22:23 


22/04/07
2
А будет ли доказательством следующее:
для каждой допустимой пары (x_1,x_2) найдется допустимая пара (y_1,y_2), где y_1=x_1+z_1, y_2=x_2+z_2, такая что x_1-\sqrt{2} x_2 <  y_1-\sqrt{2} y_2 <0.
Это справедливо, так как всегда найдутся целые z_1, z_2 такие, что 0<z_1-\sqrt{2} z_2 <\sqrt{2} x_2 -x_1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.04.2007, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Да, это будет как раз тем доказательством, о котором Вам писал RIP, если Вы ещё докажете, что условия
OlgaM писал(а):
0<z_1-\sqrt{2} z_2 <\sqrt{2} x_2 -x_1
обеспечивают допустимость новой пары (в чем я несколько сомневаюсь :wink: )

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.04.2007, 23:38 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Будем считать известным, что уравнене Пелля $x_1^2-2x_2^2=-1$ имеет бесконечное множество решений в натуральных числах. Исходное утверждение с очевидностью следует из этого факта и из тождества $x_1-\sqrt{2}x_2=-\frac{1}{x_1+\sqrt{2}x_2}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2007, 06:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
OlgaM, просветите, пожалуйста. Чем таким утверждение
OlgaM писал(а):
всегда найдутся целые z_1, z_2 такие, что 0<z_1-\sqrt{2} z_2 <\sqrt{2} x_2 -x_1.

отличается от
OlgaM писал(а):
для каждой допустимой пары (x_1,x_2) найдется допустимая пара (y_1,y_2),... такая что x_1-\sqrt{2} x_2 <  y_1-\sqrt{2} y_2 <0.

, что первое Вы считаете очевидным, а второе $-$ нет?

 Профиль  
                  
 
 Мне кажется, что задача имеет решение ...
Сообщение23.04.2007, 11:14 


03/09/05
217
Bulgaria
Конечно, вчера я ошибся в расчетах, прошу простить меня. Спасибо модератору.

И все таки, мне кажется, что эта задача целочисленного программирования имеет решение:

$$ x_1=24, \;x_2=17 $$

Возможно я чего то не так понял?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2007, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Vassil писал(а):
И все таки, мне кажется, что эта задача целочисленного программирования имеет решение:

$$ x_1=24, \;x_2=17 $$

Возможно я чего то не так понял?

$24-17\sqrt2=-0.04163...<82-58\sqrt2=-0.0243866...<0$
Возможно, я чего-то не так понял?

 Профиль  
                  
 
 Заблудился
Сообщение23.04.2007, 16:36 


03/09/05
217
Bulgaria
Наконец-то внял ...
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group