Интеграл

[Slow]

Собственно нужно посчитать интеграл $\ \int_{0}^{\infty}{\frac{\cos\alpha x}{1+x^{2}}dx}$.
Я решил продифференцировать его два раза по $\alpha$, а затем обозначил интеграл как $y(\alpha)$. В итоге получается уравнение $y''+y=0$. Решив уравнение и задачу Коши получил $y=\frac{\pi}{2}\cos\alpha$. Но это выражение не сходится с ответом.

[ИСН]

Если эту штуку продифференцировать два раза по $\alpha$, то получится интеграл, который не сходится.
Тут обычно делают через вычеты, или как-то совсем креативно.

[nnosipov]

Slow в сообщении #724261 писал(а):

получил $y=\frac{\pi}{2}\cos$. Но это выражение не сходится с ответом.

Ещё бы, оно просто бессмысленно.

ИСН в сообщении #724262 писал(а):

или как-то совсем креативно.

Видимо, дописывая экспоненциально убывающий множитель в числителе.

[Slow]

А блин точно забыл что x будет выноситься при дифференцировании. Ну а как же тогда подступиться к нему? Вычеты нее проходили.

[nnosipov]

Посмотрите 2-й том "Курса математического анализа" Кудрявцева. Если мне не изменяет память, там этот пример разобран.

[Ms-dos4]

Это типовой интеграл, и берётся он методами ТФКП (т.е. через вычеты). Рассмотрим функцию
$\[f(z) = \frac{{{e^{iaz}}}}{{{z^2} + {b^2}}}\]$
$\[(a > 0,b > 0)\]$
Очевидно она имеет полюс $\[z = ib\]$
Вычет в нём $\[{\rm{res[}}f(z){]_{z = ib}} = \frac{{{e^{ - ab}}}}{{2ib}}\]$
Применяем т. вычетов и берём действительную часть, получим
$\[\int\limits_0^\infty {\frac{{\cos ax}}{{{x^2} + {b^2}}}dx = } \frac{\pi }{{2b}}{e^{ - ab}}\]$
(в случае если $\[a < 0\]$ берём от a модуль).
Итак, в вашем случае
$\[\int\limits_0^\infty {\frac{{\cos ax}}{{{x^2} + {1^2}}}dx = } \frac{\pi }{2}{e^{ - \left| a \right|}}\]$

[Slow]

К сожалению не нашел данного примера в выше указанной книге.

[Ms-dos4]

Slow
Я же вам всё решение уже расписал
P.S.Если же вы хотите именно в книгах, то смотрите курсы ТФКП. Например 3-й том часть 2 "Вышки" Смирнова

[nnosipov]

Slow в сообщении #724278 писал(а):

К сожалению не нашел данного примера в выше указанной книге.

Виноват, память мне изменила. Там рассматривается интеграл

$$ \int_0^\infty e^{-\beta x}\frac{\sin{\alpha x}}{x}\,dx. $$

[ex-math]

ИСН в сообщении #724262 писал(а):

как-то совсем креативно

См. Демидович, №3825.

[nnosipov]

Вот, случайно наткнулся: topic66080.html

[Ms-dos4]

nnosipov

(Оффтоп)

Я не понимаю к чему такие мучения. Он же берётся элементарно через вычеты. Что тут выдумывать то?

[nnosipov]

Ms-dos4

(Оффтоп)

Здесь сам процесс поучителен: показать, как нужно грамотно дифференцировать под знаком интеграла, переставлять порядок интегрирования и т.п. Просто хороший учебный пример.

[--mS--]

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #724327 писал(а):

nnosipov
Я не понимаю к чему такие мучения. Он же берётся элементарно через вычеты. Что тут выдумывать то?

Зато я понимаю. Вот у моих студентов нет и не будет никаких вычетов. По определению. А интеграл этот нам нужен. Правда, мне проще было его взять с помощью формулы обращения для абсолютно интегрируемой характеристической функции, но если бы они умели "грамотно дифференцировать под знаком интеграла, переставлять порядок интегрирования и т.п." ((с) nnosipov), было бы куда удобнее.

[SpBTimes]

Он еще из преобразования Фурье хорошо получается. Правда, жульничество это :)