Приключения Большого Куба

[Ktina]

Большой Куб размером $2013\times 2013\times 2013$ разбили на единичные кубики.
Затем покрасили каждый единичный кубик внутреннего куба $2011\times 2011\times 2011$ в один из 69 цветов.
А кубики, примыкающие к поверхности Большого Куба, не покрасили.

Могло ли случиться так, что в каждом кубе $5\times 5\times 5$ в цвет центрального кубика оказался покрашен ещё ровно один кубик?

[Ledenec_]

Для начала хорошо бы определить сколько кубиков каждого цвета имеет место быть. Потом можно пойти по мат. индукции. Взять какой-нибудь кубик, например 10X10 и проверить для него утверждение. Разумеется для этого можно сосчитать сколько всего кубиков 5Х5 может поместиться в 10Х10. Если ответ будет "могло", то - мат. инд. Если не могло, то ...

[Ktina]

Ledenec_ в сообщении #723985 писал(а):

Для начала хорошо бы определить сколько кубиков каждого цвета имеет место быть.

Думаю, что это тупиковый путь.

-- 14.05.2013, 22:53 --

Насчёт тупиковости я могу, конечно, ошибаться.
Во всяком случае, Ваш путь уж точно не самый простой.

-- 14.05.2013, 23:04 --

Либо я не сумела увидеть то, что увидели Вы.

[Ktina]

Думаю, если до завтрашнего вечера никто не решит, я напишу решение.

[hippie]

Можно обойтись 18 цветами.

Для каждого маленького кубика введём его координаты $(x,\ y,\ z).$
Покрасим в одинаковый цвет кубики, у которых одинаковые остатки от деления $[\frac x2 ]$ на 2; $y$ на 3 и $z$ на 3.

(Оффтоп)

А откуда появилось "магическое" число цветов $-$ 69?
Неужто из "Кама-Сутры"?

[Ktina]

hippie в сообщении #724454 писал(а):

Можно обойтись 18 цветами.

Для каждого маленького кубика введём его координаты $(x,\ y,\ z).$
Покрасим в одинаковый цвет кубики, у которых одинаковые остатки от деления $[\frac x2 ]$ на 2; $y$ на 3 и $z$ на 3.

-- 16.05.2013, 09:57 --

hippie в сообщении #724454 писал(а):

(Оффтоп)

А откуда появилось "магическое" число цветов $-$ 69?
Неужто из "Кама-Сутры"?

(Оффтоп)

В те времена, когда писалась КС, современных цифр ещё не существовало (или мне только так кажется?). Поэтому они не могли дать этой позе название "69".

[Ktina]

hippie в сообщении #724454 писал(а):

Можно обойтись 18 цветами.

Теперь бы ещё доказать, что 17-ю нельзя...