Найти производную

[Nimza]

Пусть $f_1,\ldots,f_n$ --- дифференцируемые функции на $[0,+\infty)$, $f'_i \geqslant 0, f''_i>0$ и

$$ X(x) = \mathop{\mathrm{Argmin}} \{ f_1(x_1)+\ldots + f_n(x_n) \mid x_1 + \ldots + x_n = x \}, $$

и $I(x_1,\ldots,x_n) = \{ i \mid x_i > 0 \}$. Показать, что

$$ \frac{\partial}{\partial x} \inf \{ f_1(x_1)+\ldots + f_n(x_n) \mid x_1 + \ldots + x_n = x \} = f'_i(x_i^\ast) $$

для всех $(x_1^\ast,\ldots,x_n^\ast) \in X(x)$, $i \in I(x_1^\ast,\ldots,x_n^\ast)$.