Сгруппировать члены не абсолютно сходящегося числового ряда.

[Sheogorath]

Доказать, что члены не абсолютно сходящегося числового ряда можно без перестановки сгруппировать так, что полученный новый ряд будет абсолютно сходящимся.
Подскажите, пожалуйста, с чего хотя бы начать, чтобы решить это задание.

[ИСН]

Начать с того же, с чего начинается доказательство, что с перестановкой его можно свести к любому числу.

[devgen]

Sheogorath
Если сходится не абсолютно, то последовательность частичных сумм по модулю тоже должна быть ограничена. Значит, можно выделить из неё сходящуюся подпоследовательность. Ну а что будет включаться в частичную сумму как раз и зависит от группировки.

Но я мог чушь написать.

[ИСН]

Сходящуюся подпоследовательность выделять из неё не надо. Потому что тупо она сама - уже сходящаяся. Надо абсолютно.

[ewert]

Надо доказать, что из последовательности частичных сумм можно выделить монотонную подпоследовательность -- участки между верхними границами этих сумм и дадут нужную группировку.

[Null]

(Оффтоп)

Видел такую же задачу, но там требовалось, чтоб еще и суммы модулей чисел в каждой скобке стремились к 0.

[Sheogorath]

И снова здравствуйте. Оцените, пожалуйста, мою попытку доказательства утверждения.
Пусть дан ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$, который сходится, но не абсолютно. $S$ - сумма данного ряда. Построим из частичных сумм данного ряда последовательность $S_1=a_1+...+a_{m_1}$, $S_2=S_1+a_{m_1+1}+...+a_{m_2}$, $...$, $S_n=S_{n-1}+a_{m_{n-1}+1}+...+a_{m_n}$, $...$ ($1 \leqslant m_1 < m_2 < ... < m_n < ...$) такую, что $\left| S_1-S \right| \leqslant 1$, и модуль разности между каждой $n$ -ой частичной суммой и суммой исходного ряда $S$ не превышает половину модуля разности между предыдущей $n-1$ -ой частичной суммой и суммой исходного ряда $S$. То есть:
$\left| S_1-S \right| \leqslant 1$,
$\left| S_2-S \right| \leqslant \frac{\left| S_1-S \right|}{2} \leqslant \frac12$,
...,
$\left| S_n-S \right| \leqslant \frac{\left| S_{n-1}-S \right|}{2} \leqslant \frac{1}{2^{n-1}}$,
...
Из условий $\left| S_1-S \right| \leqslant 1$ и $\left| S_2-S \right|=$ $\left| S_1-S+a_{m_1+1}+...+a_{m_2} \right| \leqslant \frac12$ следует, что $\left| a_{m_1+1}+...+a_{m_2} \right| \leqslant 1$.
Продолжая рассуждения получаем, что
$\left| a_{m_{n-1}+1}+...+a_{m_n} \right| \leqslant \frac{1}{2^{n-2}}$.
Введём обозначение $b_2=a_{m_1+1}+...+a_{m_2}$, $b_2=a_{m_2+1}+..+a_{m_3}$, ..., $b_n=a_{m_{n-1}+1}+...+a_{m_n}$, .... Полученный ряд представляет из себя сгруппированный без перестановки исходный ряд с исключёнными первыми $m_1$ слагаемыми. В силу того, что исключение конечного числа слагаемых не влияет на сходимость ряда, то для доказательства утверждения достаточно показать абсолютную сходимость ряда $\sum\limits_{n=2}^\infty b_n$. Так как для любого натурального $n \geqslant 2$ выполнено $\left| b_n \right| \leqslant \frac{1}{2^{n-2}}$, а ряд $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n-2}}$ сходится, то по признаку сравнения сходится абсолютно ряд $\sum\limits_{n=2}^\infty b_n$.

[ИСН]

Слово "Построим" взывает к пояснениям (хотя бы в двух словах) того, почему мы это можем.

[Sheogorath]

Последовательность $S_1=a_1+...+a_{m_1}$, $S_2=S_1+a_{m_1+1}+...+a_{m_2}$, $...$, $S_n=S_{n-1}+a_{m_{n-1}+1}+...+a_{m_n}$, $...$ ($1 \leqslant m_1 < m_2 < ... < m_n < ...$) можно построить, так как она является некоторой подпоследовательностью последовательности частичных сумм исходного числового ряда. Касательно выполнения этих свойств:
$\left| S_1-S \right| \leqslant 1$,
$\left| S_2-S \right| \leqslant \frac{\left| S_1-S \right|}{2} \leqslant \frac12$,
...,
$\left| S_n-S \right| \leqslant \frac{\left| S_{n-1}-S \right|}{2} \leqslant \frac{1}{2^{n-1}}$,
...
Между $n$-ой частичной суммой и суммой ряда есть некоторое расстояние $l$. А так как ряд сходится, то каждая следующая за $n$ частичная сумма будет всё ближе и ближе приближаться к сумме ряда. И поэтому найдётся такая частичная сумма расстояние от которой до суммы ряда будет не превосходить $l/2$.

[ИСН]

Sheogorath в сообщении #723309 писал(а):

А так как ряд сходится, то каждая следующая за $n$ частичная сумма будет всё ближе и ближе приближаться к сумме ряда.

Каждая? Так-таки каждая?

[Sheogorath]

Эмм...
Так как ряд сходится, то найдется такая частичная сумма, расстояние от которой будет меньше $l/2$

[ИСН]

Ага, ОК.

[Sheogorath]

ИСН в сообщении #723317 писал(а):

Ага, ОК.

Это случаем не сарказм?
То, что я написал можно считать за доказательство или же оно не верно?

[ИСН]

С этой деталью порядок.
Теперь: из условий $\left| S_1-S \right| \leqslant 1$ и $\left| S_2-S \right| \leqslant \frac12$ что следует для $\left| S_1-S_2 \right|$? Что оно меньше чего?

[Sheogorath]

Меньше $\frac32$