Ищу такую функцию: f(x + f(y)) = f(x + y)

[Vedr]

Например, дробная часть числа обладает таким свойством: $\left\{x + \left\{y\right\}\right\} = \left\{x + y \right\}$
Ищу функции с похожими свойствами и теорию по ним. Желательно, для действительных чисел.
Заранее благодарен за любую информацию.

[Vince Diesel]

Пусть существует $y$, такое, что $f'(y)\ne0$. Тогда

$$ \frac{d}{d x}f(y)=\frac{d}{dx}f(x+f(y-x))= f'(y)(1-f'(y-x))=0, $$

откуда, в силу произвольности $x$, следует, что $f'(x)=1$ для всех $x$, при которых существует производная $f$. Так что, возможно, "хорошими" решениями будут только кусочно-линейные функции.

[Null]

Ну $y-f(y)$ - период, т.е. 2 случая:
1. $f(y)=y$ для любого $y$;
2. $f(y)$ имеет множество периодов $S$ .
Тогда она задается на $\mathbb{R}\setminus {S}$ и при этом $f(x)-x\in S$
Если $S=\mathbb{R}$, наша функция - константа.

[Mikhail Sokolov]

См. раздел 19.3 книги Ацел Я., Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными. Там обсуждается более общее уравнение: $f(x+f(y))=f(y+f(x))$.

[Vedr]

Большое спасибо за ответы Буду думать.

[Null]

$f(x+f(y))=f(y+f(x))$
$f(x + f(y)) = f(x + y)$
ИМХО имеют мало общего

[Mikhail Sokolov]

Null
Всякое решение второго уравнения удовлетворяет и первому.