Статистика.

[Asalex]

Уважаемые формучане! Помогите разобраться с такой задачей:

В магазин поступила партия фруктов весом 1200 кг. Методом случайного бесповторного отбора сделано 5%-ю выборку, в которой оказалось 54 кг стандартных фруктов. Определите с вероятностью 0.997 границы доли стандартных фруктов во всей партии.

Решение

Для функции $\Phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-t}^t\mathrm{e}^{-\frac{s^2}{2}}\mathrm{d}s$ найдем для заданного уровня достоверности 0.997 значение аргумента $t=3.$
Предельную ошибку выборки определим по формуле для бесповторного отбора для альтернативного или атрибутивного признака $\Delta=t\sqrt{\frac{\omega(1-\omega)}{n}(1-\frac{n}{N})}=0.113,$ где выборочная доля стандартных фруктов $\omega=54/60=0.9,выборочная совокупность \ \ n=60, генеральная совокупность \ \ N=1200.$

Поэтому с вероятностью 0.997 можно утверждать, что доля стандартных фруктов находится в пределах от \omega-\Delta=0.9-0.113=0.787 до \omega+\Delta=0.9+0.113=1.013.



Два непонятных момента:
1) формула для \Delta дает различные значения в зависимости от того, в каких единицах измерения мы берем выборочную совокупность n.
2) верхняя граница для дооли стандартных фруктов получается больше 1, хотя понятно, что она не превосходит (1200-6)/1200=0.995.

[Asalex]

Или здесь n это не 60 кг, а количество фруктов, которые необходимо взять, чтобы получить вес в 60кг?
То есть нужно дополнительно знать средний вес фруктов?

[Otta]

Asalex в сообщении #721765 писал(а):

Или здесь n это не 60 кг, а количество фруктов, которые необходимо взять, чтобы получить вес в 60кг?
То есть нужно дополнительно знать средний вес фруктов?

Да, это объем выборки, то есть количество "выбранных" фруктов. Средний вес при Ваших данных не нужен.

[Asalex]

Otta, а как тогда посчитать предельную ошибку выборки \Delta=t\sqrt{\frac{\omega(1-\omega)}{n}(1-\frac{n}{N})}?
У меня есть t=3,\ \ \omega=0.9,\ \ \frac{n}{N}=0.05, и нет n.

[Александрович]

Asalex в сообщении #721750 писал(а):

Два непонятных момента:
2) верхняя граница для дооли стандартных фруктов получается больше 1, хотя понятно, что она не превосходит (1200-6)/1200=0.995.

Если $p$ близка к границам интервала $[0;1]$ нормальное приближение некорректно.

[Otta]

Asalex в сообщении #721785 писал(а):

Otta, а как тогда посчитать предельную ошибку выборки \Delta=t\sqrt{\frac{\omega(1-\omega)}{n}(1-\frac{n}{N})}?
У меня есть t=3,\ \ \omega=0.9,\ \ \frac{n}{N}=0.05, и нет n.

Ух, извините. Дело было к рассвету, и я не заметила, что дельта Вы сами нашли, решив, что оно Вам дано.
Если Вам не ответят до меня - вечером напишу, сейчас тороплюсь.

[Asalex]

Александрович в сообщении #721788 писал(а):

Если $p$ близка к границам интервала $[0;1]$ нормальное приближение некорректно.

Александрович , и как нужно действовать?

Otta, буду ждать Вашего ответа!

[Александрович]

Asalex в сообщении #721927 писал(а):

и как нужно действовать?

Искать доверительный интервал для параметра распределения Пуассона.

[Otta]

Александрович в сообщении #721788 писал(а):

Если $p$ близка к границам интервала $[0;1]$ нормальное приближение некорректно.

Вы с чем-то путаете. Распределение доли "брака" асимптотически нормально как при повторных, так и при бесповторных выборках.

Asalex, Ваша задача некорректна именно по указанной Вами причине.
Ширина доверительного интервала тем больше, чем меньше объем выборки, то есть напрямую от него зависит. Значит, нам не все равно, какие именно фрукты мы покупали. Потому что если это арбузы, то объем выборки будет мал, а значит, разброс значений.велик, а если это смородина - наоборот. То есть при одном и том же уровне значимости у Вас получатся разные доверит. интервалы. Нужно именно количество выбранных фруктов. Или средняя масса каждого, поскольку здесь доверит. инт. все равно носит асимптотический характер.

[Asalex]

Otta, когда я записывал здесь условие задачи, я не понимал, что это важно, какие конкретно фрукты имеются в виду. В оригинальном условии речь идет о яблоках.
Средний вес одного яблока, если верить этому источнику, 250-300гр.

Кстати, если бы речь шла о фруктах весом в 1 кг, то верхняя граница доверительного интервала получилась бы больше 1. Как в этом случае записывать ответ?

Александрович, не могу понять как здесь привязать распределение Пуассона.

[Otta]

Asalex в сообщении #722061 писал(а):

В оригинальном условии речь идет о яблоках.
Средний вес одного яблока, если верить этому источнику, 250-300гр.

А что говорится об этом в оригинальном условии? Вы "школьную" задачу решаете или "производственную"? А то яблоки, знаете, тоже разные бывают. :)

Александрович, мне кажется, несколько не к месту вспомнил условия использования предельных теорем для схемы Бернулли - Муавра-Лапласа и Пуассона соответственно.

[Asalex]

В условии о весе яблок ничего не сказано. Задача скорее "школьная", это контрольная в институте.

[Otta]

Asalex в сообщении #722061 писал(а):

Кстати, если бы речь шла о фруктах весом в 1 кг, то верхняя граница доверительного интервала получилась бы больше 1. Как в этом случае записывать ответ?

Что-то у меня не получилось такого результата для среднего веса 1,2 кг. Вы не могли бы написать, как считаете, пусть и в отступление от темы? ;)

-- 10.05.2013, 23:44 --

Слушайте, задача стандартная. Обыкновенная совершенно задача. Только в килограммах выборки не делают. Замените килограммы на яблоки (1200 яблок, 54 яблок) и решите. Вы практически решили, только где-то накосячили в числах.

Большое у меня подозрение, что вся проблема в неверно переписанном (или вроде того) условии задачи.

Думаю, у преподавателя не возникнет вопросов. Если же возникнут, скажете, что данных задачи недостаточно. Объясните почему. Такие ситуации бывают, рабочие совершенно.

[Asalex]

Otta,
подставляем в формулу для предельной ошибки выборки
\Delta=t\sqrt{\frac{\omega(1-\omega)}{n}(1-\frac{n}{N})}
значения t=3,\ \ \omega=0.9,\ \frac{n}{N}=0.05, \ \ n=\frac{60}{m}, где m- это средний вес, т.е. 1кг или 1.2 кг.
Получаем
\Delta=3\sqrt{\frac{0.9 \times 0.1}{60/m}(1-0.05)}=0.9\sqrt{\frac{0.95m}{60}}.

При m=1 получаем \Delta=0.11, при m=1.2 получаем \Delta=0.12.

С вероятностью 0.997 можно утверждать, что доля стандартных яблок находится в интервале (\omega-\Delta,\omega+\Delta)=(0.9-\Delta,0.9+\Delta).
Поскольку \Delta>0.1, то верхняя граница доверительного интервала больше 1.

[Otta]

Asalex, убедил. :)
А давайте проще, посчитаем вот какую задачку для повторной выборки - при таком объеме выборки она мало отличается от бесповторной.
Пусть у нас есть 1200 яблок (! - не кг). Каков должен быть объем выборки, чтобы доверит. интервал был уже 0,1 (от своего центра)? А то, может, она должна быть ну очень большой и 5%-ной заведомо не хватит?