2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выпуклые множества и матричные нормы.
Сообщение19.04.2007, 23:36 


19/04/07
1
не знаю как решать задачи,
1).Докажите,что любая внутренняя точка замыкания выпуклого множества $S$ в конечномерном нормированном пространстве принадлежит $S$.Верно ли это в случае произвольного множества $S$?
2).Докажите ,что $\max\frac{\|A\|_2}{\|A\|_1}= \sqrt{n}$ ,где А принадлежит $\mathbb{C}^{n\times n}$ $,A\neq 0$,$\|A\|_2$-спектральная норма.
3).Докажите,что спектральный радиус получается как предел $p(A)=\lim\limits_{k\to\infty} \|A^k\|^{(1/k)}$ , где $\|\cdot\|$ -произвольная фиксированная матричная норма.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.04.2007, 05:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3826
1) Пусть X --- внутренняя точка $\overline S$, B --- окрестность X, целиком состоящая из точек $\overline S$. Воспользуйтесь тем, что $S$ плотно в B, а затем воспользуйтесь выпуклостью S. Для произвольного S это свойство может и не выполняться (пример очень легко придумать).

2) Во-первых, $\|A\|_1=\max_j\sum_i|a_{ij}|$. Пусть $y=Ax$, тогда
$$\|y\|_2^2=\sum_i|y_i|^2=\sum_i\biggl|\sum_ja_{ij}x_j\biggr|^2\leqslant\sum_i\sum_j|a_{ij}|^2\cdot\|x\|_2^2\leqslant n\|A\|_1^2\cdot\|x\|_2^2,$$
значит, $\|A\|_2\leqslant\sqrt n\|A\|_1$. Осталось придумать матрицу, для которой выполняется равенство. Это несложно сделать, проанализировав док-во.

3) Это весьма нетривиальный факт, док-во которого можно найти, например, в книге Колмогоров А.Н., Фомин С.В. "Элементы теории функций и функционального анализа" в дополнении про банаховы алгебры (в четвёртом издании 1976 г. это точно есть). Думаю, что док-во можно найти во многих других книжках по функциональному анализу.

Upd.1 Хотя для матриц это, наверное, можно доказать как-нибудь попроще из тех соображений, что этот предел не зависит от нормы (поскольку все нормы эквивалентны), поэтому осталось придумать норму, для которой это легко доказать.

Upd.2 Это легко доказать, например, для нормы $\|\cdot\|_1$ с помощью жордановой нормальной формы. Делается это так. Легко показать, что для любой матрицы выполнено $\rho(A)\leqslant\|A\|_1$ (это верно для любой матричной нормы), следовательно, $\rho(A)\leqslant\varliminf\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\|A^k\|_1}$. Переходя к ЖНФ, несложно получить, что $\varlimsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\|A^k\|_1}\leqslant\rho(A)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group