Интерполирование по кратным узлам

[linpy]

Интерполирование по кратным узлам(оно же Эрмита насколько я понимаю).
Дано:
$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline x & P(x) & P'(x) & P''(x) \\ \hline -1 & 1 & & \\ \hline 1 & 1 & -2 & -6 \\ \hline \end{tabular}$

Кратность узла $P(1)$ равна 3, так как для него дано значение функции и значение двух производных. Поэтому строим такую таблицу разделенных разностей:

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} \hline x & P(x) & [x] & [2] & [3] \\ \hline -1 & 1 & & & \\ & & 0 & & \\ 1 & 1& & -2 & \\ & & -2 & & -1 \\ 1 & 1& & -3 & \\ & & -2 & & \\ 1 & 1& & & \\ \end{array} $$

,где $[1] [2] [3]$ обозначение разделенной разности 1-го, 2-го и 3-го порядка. Там где значения пвторяются разделенняа разность вычисляется по формуле:
$\frac{P^{(k)}(x)}{k!}$
В итоге получается такой полином:
$P(x)=1-2(x+1)(x-1)-(x-1)(x+1)(x-1) $
Если в значениях функции есть совпадения с таблицей, то в производных. Скорее всего я ошибся либо при рассчете таблицы разделенных разностей, или при рассчете по интерполяционной формуле Ньютона, прошу,если кому-то нетрудно, проверить и указать на ошибку. Заранее спасибо

[_Ivana]

Уточните, вам нужно получить полином 3 степени по 4-м условиям? Зачем для этого столько сложностей?

[linpy]

Дали задачу отработать интерполяцию кратным узлом при тех входных данных что изложены выше, получается судя по всему так какВы пишите, возможно что интерполирование по кратным узлам может быть проще, но я нашел такую процедуру. А метод интерпол. выбрали до меня:)

[_Ivana]

Поспрашивал инет на эту тему, да, есть такой метод, через расчет разделенных разностей и формулу Ньютона. Можно в изобилии найти примеры решения подобных задач.
Но я бы (если такое решение будет принято) поступил проще - сдвинул $x$ на $1$ (чтобы все 3 производные были заданы в нуле), сразу бы получил 3 коэффициента полинома, четвертый находится из линейного уравнения, потом $x$ сдвигается назад.

[linpy]

Да интересная идея, но нельзя сдвигать

[TOTAL]

Если заданы $P(x_0), P(x_1), P'(x_1), P''(x_1),$ то искомый полином записывается:

$$P(x)=D_0(x)M_0(x) + D_1(x)M_1(x), $$

где

$$D_0(x)=(x-x_1)^3, \;\; D_1(x)=(x-x_0)$$

$$M_0(x)=\left(\frac{P(x)}{D_0(x)} \right)_{x=x_0}$$

$$M_1(x)=\left(\frac{P(x)}{D_1(x)} \right)_{x=x_1} + \frac{(x-x_1)}{1!}\left(\frac{d}{dx}\frac{P(x)}{D_1(x)} \right)_{x=x_1} + \frac{(x-x_1)^2}{2!}\left(\frac{d^2}{dx^2}\frac{P(x)}{D_1(x)} \right)_{x=x_1}$$