Выпуклость полилогарифмов

[ShrykeWindgrace]

Добрый день! Я пытаюсь доказать вот такую гипотезу:

Функция $\mathbb R\to \mathbb R: w\to(-Li_{5/2}(-e^w))^{2/5}$ является выпуклой.
(http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm)

Напрямую подобных результатов я не нашел (и вообще, запрос convex+polylogarithm мало что даёт)

Поведение на $-\infty$ относительно просто описать и выпуклость действительно есть. Проблема при $w\to\infty$. Асимптотически функция там себя будет вести как $w$, этого нам недостаточно. С другой стороны, если рассматривать следующие члены асимптотического разложения, то поведение будет $c_1w+c_2/w+\mathcal O(w^{-2})$, $c_i>0$. Интуитивно кажется, что выпуклость будет и там.

В связи с этим у меня несколько вопросов. Во-первых, хватит ли такого асимптотического разложения, чтобы гарантировать выпуклость? Во-вторых, что делать там, где асимптотика еще не играет решающую роль? Можно, конечно, построить график в той же Mathematica, но выбор достаточно большого компакта, как мне кажется, не проще поиска другого доказательства.

Вдогонку о корректности разложения на бесконечности. Результат из отчета Вуда (Wood) (http://www.cs.kent.ac.uk/pubs/1992/110) не совсем совпадает с результатом с сайта Wolfram (http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/PolyLog/06/01/03/01/02/, правда, тут ни источника, ни доказательства). Кому верить?

Ну и хотелось бы обобщить результат и доказать его не прибегая к построению графиков. Думаю, в таком виде:
Функция $\mathbb R\to \mathbb R: w\to(-Li_{p}(-e^w))^{1/p}$ является выпуклой при $p>0$.

Буду рад любым предложениям, ссылкам и замечаниям=)

[sergei1961]

Может такой план пройдёт.
1. $Li(x)$-выпуклая функция.
2. $Li(-x)$-выпуклая.
3. Если $f(x)$-выпуклая,то $f(e^x)$-выпуклая=>$Li(-e^x)$-выпуклая.
4. $-Li(-e^x)$-вогнутая. Наверное положительная?
5. Если $f(x)$-вогнутая и положительная, то $f^p(x),0<p<1$ -выпуклая.

А точные формулы скорее на Вольфраме. Лучше посмотреть в самой МАТЕМАТИКЕ или книгах Левина.

-- 11.05.2013, 00:46 --

План нужно подкорректировать и попробовать доказать такими маленькими шагами.
1. $Li(x)$ выпуклая, возрастающая, положительная.
2. $Li(-x)$ выпуклая, убывающая, положительная.
3. $Li(-e^x)$ вогнутая, убывающая, отрицательная.
4. $-Li(-e^x)$ выпуклая, возрастающая, положительная.
5. $(-Li(-e^x))^{0.4}$ тоже выпуклая, возрастающая, положительная.

[ShrykeWindgrace]

Спасибо за внимание и советы!

У меня, однако, есть несколько замечаний по Вашим планам.

К первому:

sergei1961 в сообщении #722150 писал(а):

Может такой план пройдёт.
1. $Li(x)$-выпуклая функция.
2. $Li(-x)$-выпуклая.
3. Если $f(x)$-выпуклая,то $f(e^x)$-выпуклая=>$Li(-e^x)$-выпуклая.
4. $-Li(-e^x)$-вогнутая. Наверное положительная?
5. Если $f(x)$-вогнутая и положительная, то $f^p(x),0<p<1$ -выпуклая.

Пункт 3 неверен. Возьмём $f(x)=(x-1)^2$. Она явно выпуклая. Но $f(e^x)=(e^x-1)^2$ вогнута при $x<-\ln 2$ и выпукла при $x>-\ln 2$. Другой пример: $f(x)=-x$ выпукла. Однако $-e^x$ всюду вогнута. Чтобы Ваша импликация была верна, достаточно потребовать монотонный рост $f$. Да и $Li_{5/2}(-e^x)$ вогнута около нуля=)

Пункт 4 не совсем верен: $-Li_{5/2}(-e^x)$ положительна и точно не вогнута (на Вольфраме http://www.wolframalpha.com вбить "Plot[(-Polylog[5/2, -Exp[g]]),{g,-5,5}]". Почему-то прямую ссылку форум не распознал).

Пункт 5 тоже неверен. Пусть $f(x)=\sqrt x$ где-нибудь в окрестности единицы. Она, очевидно, положительна и вогнута. Функция $x^{p/2}$ всё так же положительна и вогнута в той же окрестности при $p\in(0,1)$.

sergei1961 в сообщении #722150 писал(а):

План нужно подкорректировать и попробовать доказать такими маленькими шагами.
1. $Li(x)$ выпуклая, возрастающая, положительная.
2. $Li(-x)$ выпуклая, убывающая, положительная.
3. $Li(-e^x)$ вогнутая, убывающая, отрицательная.
4. $-Li(-e^x)$ выпуклая, возрастающая, положительная.
5. $(-Li(-e^x))^{0.4}$ тоже выпуклая, возрастающая, положительная.

Здесь можно начинать сразу с пункта 4, если взять вот такое представление полилогарифма (есть на википедии):

\[-Li_{p}(-e^w)=\frac{1}{\Gamma(p)}\int_0^\infty \frac{t^{p-1}\mathrm dt}{e^{t-w}+1}.\]

Положительность, возрастание и выпуклость проверяются влёт. А вот пункт 5 я и пытаюсь доказать=)

[Xaositect]

А тупо взять вторую производную не получается? Производная от полилогарифма выражается через полилогарифм с на единицу меньшим показателем.

[ShrykeWindgrace]

Xaositect в сообщении #722332 писал(а):

А тупо взять вторую производную не получается? Производная от полилогарифма выражается через полилогарифм с на единицу меньшим показателем.

Уже пробовал. Получается вот такая формулка (везде принимаем $p=5/2$):

\[\frac{\left(-Li_p(-e^w)\right)^{1/p-2}\left(p Li_{p-2}(-e^w)Li_p(-e^w)-(p-1)(-Li_{p-1}(-e^w))^2\right)}{p^2}.\]

Один из вариантов - вынести "хороший" положительный множитель и попытаться получить знакопостоянство оставшейся разности. Например, выносим

\[ \frac{\left(-Li_p(-e^w)\right)^{1/p-2}}{p^2} Li_{p-1}(-e^w)Li_{p-2}(-e^w), \]

тогда остаётся

\[ \left(p\frac{ Li_p(-e^w)}{ Li_{p-1}(-e^w)}-(p-1)\frac{ Li_{p-1}(-e^w) }{ Li_{p-2}(-e^w)}\right) .\]

Знак этого выражения у меня пока оценить не получилось (я знаю, конечно, что на $(-\infty,10)$ это положительно, спасибо Mathematica).

Можно выносить
$\frac{\left(-Li_p(-e^w)\right)^{1/p-2}}{p^2g(w)} $, где $g(w)=\begin{cases}1,&w<1\\w^{2-2p},&w\ge 1\end{cases}$. Тогда надо изучать знак разности

\[ g(w) \big(p Li_p(-e^w) Li_{p-2}(-e^w) -(p-1) Li_{p-1}(-e^w) Li_{p-1}(-e^w) \big) .\]

Можно показать, что это выражение стремится к нулю при $|w|\to\infty$. Снова есть положительность на левой полупрямой, знакопостоянство я пока доказать не могу.

Может быть, что-то и можно получить из изучения второй производной, но я это пока не нащупал.

[ShrykeWindgrace]

Пока получилось доказать следующие утверждения:
1) $-Li_1(-e^w)$ выпукла на $\mathbb R$, хотя бы из-за того, что это равно $\ln(1+e^w)$.

2) Предположим $p\ge1$. Если функция $w\to(- Li_{p-1}(-e^w))^{\frac{1}{p-1}}$ выпукла на $[w_0,\infty)$ и если вторая производная функции $w\to(- Li_p(-e^w))^{1/p}$ положительна в $w_0$, тогда функция $w\to(- Li_p(-e^w))^{1/p}$ тоже выпукла на $[w_0,\infty)$.

Таким образом, проверяя выпуклость функции $w\to(- Li_2(-e^w))^{1/2}$ при отрицательных
$w $ (достаточно построить график второй производной с заменой $z=e^w$), мы можем доказать её выпуклость на всей числовой оси.

Следовательно выпуклость на $\mathbb R_-$ при всех натуральных $p$ немедленно даст выпуклость всюду (и как минимум частный случай исходной гипотезы будет верен).

[sergei1961]

Вы на другом форуме давали ссылку, откуда задача появилась. Можно дать ссылку здесь, интересно, но не получается повторно найти.