Ограниченность оператора

[Rich]

Ограничен ли оператор $A:l_4 \rightarrow l_2 $, $(Ax)_n=\frac{x_{n+1}-2x_n}{n}$,$D(A) = \{x \in l_4 : \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x_{n+1}-2x_n|}{n} < \infty\}$ ?

Я пытался доказать неограниченность подобрав последовательность элементов из $l_4$, координаты которых после некоторого номера обращаются в 0, но пока не удается подобрать подходящую последовательность.

[g______d]

В описании области определения отсутствует предикат.

Проверьте, ограничен ли оператор ${x_n}\mapsto {x_n/n}$ из $l_4$ в $l_2$. Подсказка: если $\{x_n\}\in l_p$, ${y_n}\in l_q$, то $\{x_n y_n\}\in l_r$, где $1/p+1/q=1/r$ (неравенство Гёльдера).

[Rich]

Подсказка помогла мне убедиться,что $\{\frac{x_n}{n}\} \in l_2$.

-- 05.05.2013, 20:51 --

Оператор неограничен.

[g______d]

Надо показать, что $\|Ax\|_{l_2}\le C\|x\|_{l_4}$ для некоторой константы $C$.

Кстати, у Вас область определения по-прежнему неправильно записана; надо, чтобы результат попадал в $l_2$, а у Вас в $l_1$.

Еще 2 подсказки: сумма и композиция ограниченных операторов ограничена. Оператор сдвига ($(Tx)_n=x_{n+1}$) ограничен из $l_4$ в $l_4$.

[Rich]

Область определения из задачи, как я понял тут еще и $l_1$ требуется или Вы думаете это опечатка?

[g______d]

Ну естественной областью определения должно быть чтобы результат применения оператора попадал в $l_2$.

Впрочем, как мне кажется, в данном случае (по тому же неравенству Гёльдера) область определения совпадает со всем $l_4$.