Возвести подстановку в степень.

[qwertz]

${\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}}$^{100}

Как это сделать?

[AV_77]

В виде произведения независимых циклов представьте. Или просто начните перемножать, заметите закономерность.

[qwertz]

$(1 4)(2 5 3) = (1 4)^{100} (2 5 3)^{100}$ а дальше?

[devgen]

qwertz
1 это 4, 4 это 1, 1 это 4, 4 это 1..

[_Ivana]

(Оффтоп)

Даже я уже понял, хотя до сего момента ничего не слышал о подстановках и перестановках http://www.intuit.ru/studies/courses/10 ... 728?page=3

[devgen]

_Ivana

(Оффтоп)

не повод.

[arseniiv]

qwertz в сообщении #719645 писал(а):

$(1 4)(2 5 3) = (1 4)^{100} (2 5 3)^{100}$

Надеюсь, вы хотели написать «$\left((1 4)(2 5 3)\right)^{100} = (1 4)^{100} (2 5 3)^{100}$».

[provincialka]

qwertz в сообщении #719645 писал(а):

$(1 4)(2 5 3) = (1 4)^{100} (2 5 3)^{100}$ а дальше?

Почему равно? Вы имели в виду, что левую часть надо тоже в сотую степень возвести?

Сегодняшнее пасхальное настроение привело меня к такому совету: будьте как дети! То есть попробуйте решить задачу без теории, экспериментально. Ну вот, цикл $(14)$ что означает? Что будет, если применить его 2 раза? Три раза? Во что перейдут 1 и 4?

[qwertz]

Цикл $(1 4)$ означает, что элемент $1$ отображается в $4$. Пробовал возводить цикл $(1 4)$ во вторую степень (применить два раза), получилось, что $1$ перейдет в $1$, а $4$ в $4$, т.е тождественная подстановка. Если в третью (применить три раза), то $(1 4)^3 = (1 4)$, т.е получился сам же цикл. Стало быть, если цикл длины $n$ возвести в степень $n$, то получится тождественная подстановка.
$((1 4) (2 5 3))^{100} = (1 4)^{100} (2 5 3)^{100} = ((1 4)^2)^{50} ((2 5 3)^3)^{33} (2 5 3) = (1)(4)(2)(5)(3) \cod (2 5 3)$
Получилось, что тождественная подстановка $(1)(4)(2)(5)(3)$ умножается на цикл $(2 5 3)$, т.е:
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 5 & 3 & 2 \end{pmatrix}$
Никогда не умножал подстановки разных размеров, но полагаю, что получится:
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

[provincialka]

Ответ верный.

[bot]

qwertz в сообщении #719764 писал(а):

Никогда не умножал подстановки разных размеров

А почему разложению не удивлялись? Циклы-то ведь были "разных размеров"

[arseniiv]

qwertz в сообщении #719764 писал(а):

Получилось, что тождественная подстановка $(1)(4)(2)(5)(3)$ умножается на цикл $(2 5 3)$

Обычно такие $(1)(4)(2)(5)(3)$ записывают как $()$ — ничего же не меняется. При умножении на другие циклы и вовсе не пишут.

[provincialka]

arseniiv в сообщении #719932 писал(а):

qwertz в сообщении #719764 писал(а):

Получилось, что тождественная подстановка $(1)(4)(2)(5)(3)$ умножается на цикл $(2 5 3)$

Обычно такие $(1)(4)(2)(5)(3)$ записывают как $()$ — ничего же не меняется. При умножении на другие циклы и вовсе не пишут.

Именно это я и имела в виду, сказав, что ответ верный. Впрочем, это мелочи - как человеку понятнее, так пусть и записывает.

[qwertz]

bot в сообщении #719895 писал(а):

А почему разложению не удивлялись? Циклы-то ведь были "разных размеров"

Совсем недавно начал изучать подстановки. Опыта мало, многие вещи становятся понятными не сразу. Но с вами процесс понимания идет быстрее, чем с литературой. Всем большое спасибо!
Кстати, насчет литературы. Скачал уже не одну книгу, в каждой чуть теории по этим подстановкам. А в книжках по теории чисел (Бухштаб, Виноградов) вообще ничего. Скорее, в книгах по Алгебре много информации по ним. Может, посоветуете?

[arseniiv]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #719945 писал(а):

arseniiv в сообщении #719932 писал(а):

Обычно такие $(1)(4)(2)(5)(3)$ записывают как $()$ — ничего же не меняется. При умножении на другие циклы и вовсе не пишут.

Именно это я и имела в виду, сказав, что ответ верный. Впрочем, это мелочи - как человеку понятнее, так пусть и записывает.

Я этого и не оспаривал. Знание, что не обязательно писать $(81)(82)(83)$, не будет лишним.