2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Другой вариант замены
Сообщение18.04.2007, 17:51 
Аватара пользователя
В неопределенных интегралах существует следующая(всеми признанная) формула:

$$\int_{}^{} f(x) dx$$=$$\int_{}^{} f(g(t))*g'(t) dt$$ (1)
где производится замена x=g(t)

Вопрос у меня следующий:
У меня есть выражение $$\int_{}^{} f(g(x)) dx$$ которое нужно проинтегрировать.
Предположим что данную функцию,путем арифметических преобразований, я могу привести
к виду: $$\int_{}^{} f(g(x))*g'(x) dx$$


Могу ли я вот таким вот образом делать временную замену для интегрирования

$$\int_{}^{} f(g(x))*g'(x) dx$$=$$\int_{}^{} f(t) dt$$
(Формула (1) прочитанная справа на лево)
где t=g(x) dt=g'(x)dx


а потом взяв интеграл относительно t, заменить tна g(x) после интегрирования

 
 
 
 
Сообщение18.04.2007, 17:55 
Аватара пользователя
Да, можете, и это тоже будет всеми признанный приём :D , известный в кругах любителей математического анализа как "интегрирование занесением под знак дифференциала".

 
 
 
 
Сообщение19.04.2007, 10:55 
Аватара пользователя
Неаккуратность только имеется:
Цитата:
Вопрос у меня следующий:
У меня есть выражение $$\int_{}^{} f(g(x)) dx$$ которое нужно проинтегрировать.
Предположим что данную функцию,путем арифметических преобразований, я могу привести
к виду: $$\int_{}^{} f(g(x))*g'(x) dx$$

Данное выражение преобразуется к указанному виду только лишь в случае $g'(x)=1$ :D
Лучше было сказать так: требуется проинтегрировать функцию $F(x)$. Преобразованием получаем $F(x)=f(g(x))g'(x)$ ...

Добавлено спустя 2 минуты 55 секунд:

Пример:
$\int xe^{x^2}dx=\frac{1}{2}\int e^{x^2}d(x^2)=\frac{1}{2}e^{x^2}+C$

 
 
 
 
Сообщение19.04.2007, 11:22 
Аватара пользователя
Bot. Может быть я чего то не понял в вашем ответе, но на мой взгляд выражение справедливо не только для g'(x)=1
На мой взгляд зависит от конкретного примера.

$$\int_{}^{} cos(3x) dx$$

Ничего не станет если домножить и поделить на 3 подынтегральное выражение.
$$\int_{}^{} (3/3)*cos(3x) dx$$
Тогда в числителе наблюдается. g(x)=3x g'(x)=3 и конечно dx

Заменяем 3x=t 3dx=dt выносим 1/3 за интеграл и получаем
выражение 1/3$$\int_{}^{} cos(t)dt$$


PS: Всем большое спасибо за ответы и внимание.
Просто, к сожалению, учась на заочном, иногда могут возникать вопросы.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2007, 11:26 
Аватара пользователя
GlazkovD писал(а):
Просто к сожалению учась на заочном иногда, все таки, могут возникать вопросы.
Молодец, что стараетесь разобраться! Сейчас это такая редкость...Будут вопросы-пишите, всегда рад помочь.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2007, 11:47 
Аватара пользователя
GlazkovD писал(а):
Bot. Может быть я чего то не понял в вашем ответе, но на мой взгляд выражение справедливо не только для g'(x)=1

Если имеем тождество $f(g(x))=f(g(x))g'(x)$, то какой должна быть функция $g'(x)$?

В Вашем примере $g'(x)=\frac{3}{3}=1$:
$\int \cos 3x dx=\int cos3x \cdot \frac{3}{3} dx = $

$\frac{1}{3} \int cos3x \cdot 3 dx= \frac{1}{3} \int cos3x  d 3x=$

$\frac{1}{3} \int cos t  d t = sin t +C=sin 3x +C$

Более коротко это пишется (и называется как сказал Brukvalub) методом подведения под знак дифференциала:

$\int \cos 3x dx = \frac{1}{3}\int \cos 3x \cdot 3 dx = $ [отщипываем множитель 3, чтобы занести его под дифференциал]

$=\frac{1}{3}\int \cos 3x d(3x) =... $ [так как $3dx=d(3x)$, подводим 3 под дифференциал]

$=\frac{1}{3}\sin 3x +C$ [так как $\int \cos t dt =\sin t +C$]

Замену $3x=t$, а потом обратно $t=3x$ здесь делать нет никакой необходимости.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2007, 14:41 
Аватара пользователя
bot
Теперь полностью согласен с вами.
Большое спасибо

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group