Ряд

[MAnt]

Второй день думаю над рядом $\sum \limits_{k = 1}^{\infty} \frac{k^3}{2^k}$ . Все стандартные методы к результату не приводят.

[ИСН]

Но ведь $\sum \limits_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{2^k}$ Вы, наверное, знаете?

[MAnt]

ИСН

Ваш ряд легко посчитал, получилось 2. Но с исходным рядом мой способ сложный.

[BatMan]

И что за способ такой сложный?

[MAnt]

расписал как сумму дробей вида $\frac{1}{2^k}$, и начал выделять геометрические прогрессии.

[BatMan]

А такой можете посчиать $\sum \limits_{k = 1}^{\infty} \frac{(k+1)x^k}{2^k}$ ?

[sopor]

Рассмотрите ряд $\sum x^k/2^k$, найдите его сумму, потом продифференцируйте обе части, посмотрите, что получится.

[Ms-dos4]

Эта сумма - фактически полилогарифм
$\[{{\mathop{\rm Li}\nolimits} _s}(z) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{z^k}}}{{{k^s}}}} \]$
В нашем случае
$\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{k^3}}}{{{2^k}}}} = {{\mathop{\rm Li}\nolimits} _{ - 3}}(\frac{1}{2})\]$
Для натуральных s (и s=0) известно, что
$\[{{\mathop{\rm Li}\nolimits} _{ - s}}(z) = \sum\limits_{k = 0}^s {k!S(s + 1,k + 1)} {(\frac{z}{{1 - z}})^k}\]$
$\[S(s,k)\]$ - числа Стирлинга второго рода
Имеем $\[{{\mathop{\rm Li}\nolimits} _{ - 3}}(\frac{1}{2}) = \sum\limits_{k = 0}^3 {k!S(4,k + 1)} = 0! \cdot 1 + 1! \cdot 7 + 2! \cdot 6 + 3! \cdot 1 = 26\]$

[TOTAL]

С помощью равенства $k^3 -3(k-1)^3+3(k-2)^3-(k-3)^3=6$ сведите к сумме геометрической прогрессии.

[MAnt]

Всем спасибо, решил, используя совет TOTAL.