помогите доказать существование линейных операторов

[voipp]

пусть $ \mathfrak{A,B} : \ V \rightarrow W $ линейные отображения, причем размерность образа первого отображения не больше - второго. Надо доказать, что существуют такие операторы $\mathfrak{C,D}$ в $V,W$, что $\mathfrak{A}=\mathfrak{DBC}$, причем либо $\mathfrak{C}$ либо $\mathfrak{D}$ можно выбрать невырожденными.

Сначала выбирается базис $e_1,...e_k$ прообраз базисных векторов из образа оператора $\mathfrak{A}$. Потом он дополняется до базиса всего пространства $e_{k+1},..e_{n}$. И очевидно, что эта часть принадлежит ядру.

В подсказке советуют "задать действия" $\mathfrak{C,D}$ на $e_{k+1},...e_{n}$ и
$\mathfrak{A}(e_{1}),...\mathfrak{A}(e_{k})$

Я не понимаю, как возможно определить оператор на подмножестве базисных векторов а потом его в композицию отображений записать! Ведь его ранг должен быть равен $n$ а не $n-k$. И вообще не совсем ясен способ доказывания.
Сначала была идея в роли матрицы оператора $\mathfrak{B}$ взять матрицу перехода от базиса оператора $\mathfrak{A}$ к $\mathfrak{B}$ в пространстве $V$ а в роли $\mathfrak{C}$ матрицу перехода в $W$. Но кажется что это неверно.