Эквивалентность определений равномерно непрерывных отображен

[Amalia]

Даны метрические пространства $(X,d_{X})$ и $(Y,d_{Y})$; отображение $f:X \to Y$ называется равномерно непрерывным, если

$$ \forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta>0 \quad \forall x,y\in X \quad (d_{X}(x,y)<\delta \quad \Rightarrow \quad d_{Y}(f(x),f(y))<\varepsilon). $$

Верно ли, что $f:X \to Y$ равномерно непрерывно тогда и только тогда, когда для любой пары последовательностей $\{x_{n}\}, \{y_{n}\}\subset X$, таких, что

$$ \lim\limits_{n\to\infty} d_{X}(x_{n},y_{n})=0, $$

следует

$$ \lim\limits_{n\to\infty} d_{Y}(f(x_{n}),f(y_{n}))=0 \quad ? $$

[Oleg Zubelevich]

"Нетривиально" только доказательство того, что из второго определения следует первое. Доказываем от противного. Напишите отрицание утверждения:

Amalia в сообщении #718709 писал(а):

и

$$ \forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta>0 \quad \forall x,y\in X \quad (d_{X}(x,y)<\delta \quad \Rightarrow \quad d_{Y}(f(x),f(y))<\varepsilon). $$