Мощность континуума

[Doil-byle]

В связи вот с этими постами,где упоминались мороки с дробями, я вспомнил, как решал задачу, где нужно было доказать несчётность $\mathbb{R}$. Я тогда вроде решил её, но решение не совпало с тем, которое я нашёл (там был использован диагональный метод Кантора). Я делал следующим образом. Из теоремы Кантора следует, что множество всех бесконечных монотонных последовательностей натуральных чисел $L$ имеет мощность $2^{\mathbb{N}}$, где $P(2^{\mathbb{N}})> \mathbb{N}$. Можно установить биекцию между $L$ и множеством всех бесконечных двоичных дробей без нулевого периода $D$. Пусть $f=\{(\{u_n\},\{v_n\}): (\{u_n\} \in L \wedge \{v_n\} \in D) \wedge (i \in \{u_n\} \Leftrightarrow v_i =1) \}$. Вроде бы $f$ устанавливает нужную биекцию. А при рассмотрении положительных вещественных чисел в двоичной записи можно везде заменить нулевой период на единичный. Так что всё должно быть нормально? Для удобства двоичные дроби можно рассматривать как дробную часть чисел из $(n,n+1]$ для какого-то натурального $n$. А для них уже очевидна равномощность $\mathbb{R}$.

[AGu]

Решение, на мой взгляд, излишне громоздкое (многоходовое), а в остальном -- все нормально.

Дело вкуса, но, мне кажется, было бы экономнее заметить, что $2^\mathbb N$ -- это уже и есть множество всех двоичных дробей, а чтобы устранить коллизию хвостов из нулей с хвостами из единичек, достаточно, например, выкинуть из $2^\mathbb N$ все последовательности, устанавливающиеся на нуле (коих, как легко видеть, счетное количество).

[Doil-byle]

AGu
Спасибо. Да, Вы правы. Не понимаю, почему я не догадался перевести и натуральные последовательности в двоичную систему. Забавно, что у меня как-то подсознательно ошибочно установилось, что количество последовательностей, устанавливающихся в нуле, несчётно, и я даже не стал об этом явно думать.