Абелева группа.

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Если я не ошибаюсь, то верно такое утверждение : пусть $A$ - конечная абелева группа, $|A| = N^r$ ($| |$ - порядок группы). Предположим, что для любого $D$ : $D | N$ мы имеем, что $|A[D]| = D^r$, где $A[D] = \{ a \in A | ord(a) = D \}$. Тогда $A \cong (\frac{\mathbb{Z}}{ N \mathbb{Z}})^r$. Я уже успел забыть алгебру и теорию групп, поэтому не знаю как такие вещи решать . Я пробовал разлагать группу $A$ и группу $A[D]$ в конечную сумму примарных циклических и что-нибудь хотел получить отсюда, но увы )

[Sonic86]

Есть теорема о структуре конечнопорожденных абелевых групп. Из нее следует, что если $A$ - абелева и конечна, то $A\cong\mathbb{Z}_{m_1}^+\times\ldots\times\mathbb{Z}_{m_s}^+$ с $m_1\mid m_2\mid\ldots\mid m_s$. Вычислите с помощью этой теоремы $A[D]$ в общем случае, а потом возьмите условие для $A[D]$ и поразбирайтесь в них - утверждение легко докажется.