смешанная волновая задача. метод фурье.

[Hubble]

Смешанная задача

$$ \begin{cases} u_{tt} = u_{xx} - 2\cos{3t}, \quad t > 0,\ x \in (0, 2\pi); \\ u_x|_{x=0} = 0,\quad u_x|_{x=\pi} = 2\pi\cos{3t},\quad t \ge 0; \\ u|_{t=0} = x^2, \quad u_t|_{t=0} = 0,\quad x \in [0, 2\pi]; \\ \end{cases} $$

Для начала найдем произвольную функцию, удовлетворяющую граничным условиям
$w(x,t) = a(x)\cos{3t},$ где $a'(0) = 0,\quad a'(\pi) = 2\pi,$ например,
$w(x,t) = x^2 \cos{3t},$ и с помощью замены $u = w + v,$ получим новую задачу
c однородными краевыми условиями

$$ \begin{cases} v_{tt} = v_{xx} + 9x^2 \cos{3t}, \quad t > 0,\ x \in (0, 2\pi); \\ v_x|_{x=0} = 0,\quad v_x|_{x=\pi} = 0,\quad t \ge 0; \\ v|_{t=0} = 0, \quad v_t|_{t=0} = 0,\quad x \in [0, 2\pi]; \\ \end{cases} $$

Но что делать дальше?