Об операторах

[cool.phenon]

Верно ли, что если $X,Y,Z$- банаховы пространства, $A_{n}:Y \to Z$, $B_{n}:X \to Y$ - линейные ограниченные, при этом $A_{n}$-сходится поточечно к $A$, то из этого не следует поточечная сходимость $A_{n}B_{n}$ к некоторому линейному ограниченному $AB$?
Чувствую, что это так, но не могу подобрать последовательность операторов $B_{n}$, которая не сходится ни поточечно, ни по норме.

Вроде придумал пример, но очень не уверен, прошу проверить корректность.
$X=Y=Z=C[0;1]$, $A_{n}x(t)=x(t)\int\limits_{0}^{1}{x\left( t \right)}d{{f}_{n}}\left( t \right), f_{n} \to f$, $B_{n}x(t)=x(t)\int\limits_{0}^{1}{x\left( t \right)}d{{g}_{n}}\left( t \right)$, где $g_{n}= g_{0}{(-1)^{n}}$.