Будет ли функция принадлежать пространству Соболева?

[DLL]

Пусть $[a,b]$ - конечный отрезок.
Функция $f$ имеет производную в каждой точке отрезка (в обычном смысле как предел отношения), при чем производная ограничена.

Принадлежит ли $f$ пространству Соболева $W^1_2(a,b)$?

[SpBTimes]

Ну так проверьте :)

[DLL]

Я себе представляю этот факт правильным, но не совсем очевидным. Поправьте, если не прав.

Надо показать, что функция $f$ является абсолютно непрерывной. Для этого воспользуемся теоремой о среднем значении:
$f(x)-f(y) = f'(C)(x-y).$
Ввиду условия, что производная ограничена, показываем по определению, что функция $f$ абсолютно непрерывна.

[Dan B-Yallay]

DLL в сообщении #715427 писал(а):

Надо показать, что функция $f$ является абсолютно непрерывной.

Зачем это надо показывать и что с этим дальше делать?
Не проще ли по определению?

[DLL]

Не очень понятно как именно.
Ведь производная в данном случае является лишь ограниченной, никаких дополнительных условий непрерывности не накладывается.

[Dan B-Yallay]

DLL в сообщении #715728 писал(а):

Не очень понятно как именно.
Ведь производная в данном случае является лишь ограниченной, никаких дополнительных условий непрерывности не накладывается.

Вы об чем? Каким определением для пространства $W_2^1$ вы пользуетесь? Приведите его тут если не трудно.

[Oleg Zubelevich]

DLL в сообщении #715728 писал(а):

Ведь производная в данном случае является лишь ограниченной,

и измеримой и верна формула Ньютона-Лейбница см Колмогоров Фомин

[DLL]

Цитата:

и измеримой и верна формула Ньютона-Лейбница см Колмогоров Фомин

Ага, спасибо.

Теперь вопрос такой, а если речь идет про операторозначную функцию $f(t)$ (со значениями в банаховом пространстве ограниченных операторов). Пусть эта функция сильно дифференцируема в каждой точке отрезка $[a,b]$ и нормы (операторные) производных ограничены. В таком случае верна будет формула Ньютона-Лейбница?

[DLL]

С операторами все туго становится?

[Oleg Zubelevich]

ну вы ведь ссылку уже получили

[DLL]

Глава 6, параграф 4.
Применять можно формулу Ньютона-Лейбница к абсолютно непрерывной функции...
Не там ищу?!