Обобщенные функции, пространства Соболева

[m08kaa3]

Здравствуйте. Пожалуйста, помогите с данной теоремой. Главные вопросы выделены жирным шрифтом, в первом я не уверен, а на второй так совсем идей нет. В скобочках чаще всего написано то, что я вроде понимаю, но могу доказать только при помощи размахиваний руками.
Вообще, покритикуйте, пожалуйста, поищите недочеты и ошибки. Думаю, фатальных быть не должно (часть скорее вычислительная и результат получился правильный). Если написанное не совсем безнадежно, наберу еще немного.
Заранее спасибо.

Пусть $\Omega \subset \mathbb{R}$ — открытое, $\varphi \in \mathfrak{D}(\Omega)$ — какая-то фиксированная основная функция, $T \in \mathfrak{D'}(\Omega)$ — фиксированная обобщенная функция. Обозначим через $\varphi_y$ сдвиг функции $\varphi_y(x) := \varphi(x-y)$.
Далее, рассмотрим подмножество $O_{\varphi} = \left \{ y \in \Omega: supp(\varphi_y) \subset \Omega \right \}$. Оно открыто (двигаем замкнутый носитель в открытом множестве) и непусто ($0 \in O\varphi$). Рассмотрим функцию $\mathfrak{A}: O_\varphi \rightarrow \mathbb{R}$, такую что $\mathfrak{A}(y) = T(\varphi_y)$.
Мы утверждаем, что такую функцию можно разложить в ряд Тейлора.


Доказательство.

1. Непрерывность: $\left | \varphi_y(x) - \varphi_{y-z}(x) \right | = \left | \varphi(x-y) - \varphi(x-y-z) \right | < C\varepsilon$ при $z<\varepsilon$, это следует из ограниченности производной (Производная непрерывна так как $\varphi \in \mathfrak{D}(\Omega)$ и не равна тождественно нулю на компакте, а значит ограничена). Таким образом, $\varphi_{y-z} \xrightarrow[z \to 0]{ } \varphi_{y}$ в $\mathfrak{D}(\Omega)$, и значит $T\left (\varphi_{y-z} \right ) \xrightarrow[z \to 0]{ } T\left (\varphi_{y} \right )$ по определению $T$ и $\mathfrak{A}(y-z) \xrightarrow[z \to 0]{ } \mathfrak{A}(y-z)$.

2. Дифференцируемость: Найдем частную производную $\frac{\partial \mathfrak{A}}{\partial y_i}(y)$

$$\frac{\partial \mathfrak{A}}{\partial y_i}(y) = \lim\limits_{t\to 0} \frac{\mathfrak{A}(y+te_i)-\mathfrak{A}(y)}{t} = \lim\limits_{t\to 0} \frac{T\left ( \varphi(x-y-te_i) \right ) - T\left ( \varphi(x-y) \right )}{t} =$$

$$ = \lim\limits_{t\to 0} \frac{T\left ( \varphi(x-y-te_i) - \varphi(x-y) \right )}{t} = - \lim\limits_{t\to 0} T\left (\frac{\partial \varphi}{\partial y_i} (x-y) + o(t) \right ) = -T\left (\left (\frac{\partial \varphi}{\partial y_i} \right )_y \right )$$

Где $\varphi$ считать функцией от $x$.
Здесь слегка вольно обращаюсь со знаком предела, но результат верен:). Объяснение не смог придумать, но себя убедил: это как-то связано с тем, что если семейство функций стремится к некоторой функции, то и функционалы от этих функций стремятся к функционалу от той функции, и на о малые можем не обращать внимания.

3. Продолжая рассуждать таким образом, приходим к тому, что $\mathfrak{A} \in C^\infty (O_{\varphi})$ и более того, $D^a\mathfrak{A} = (-1)^{|a|}T\left ((D^a\varphi)_y \right ) = (D^aT)(\varphi_y)$ (Первое равенство получается повторением пункта 2, второе — по определению производной обобщенной функции).

4. Имеем: $O_{\varphi}$ открыто в $\mathbb{R}^n$, $\mathfrak{A} \in C^\infty (O_{\varphi})$, $\overline{0, y} \subset O_\varphi$ для любого $y \in O_\varphi$. Значит можем расписать $\mathfrak{A}$ по формуле Тейлора до $l-1$-го члена, например, с интегральным остатком:

$$\mathfrak{A}(y) = \sum_{|a|\leqslant l-1}\frac{D^a\mathfrak{A}(0)}{a!}y^a + \int_{0}^{1}\sum_{|a| = l}\frac{l}{a!}D^a\mathfrak{A}(ty)y^a(1-t)^{l-1}dt$$

То есть

$$T(\varphi_y) = \sum_{|a|\leqslant l-1}\frac{(D^aT)(\varphi)}{a!}y^a + l\int_{0}^{1}\sum_{|a| = l}\frac{(D^aT)(\varphi_{ty})}{a!}y^a(1-t)^{l-1}dt$$

Конец доказательства.

Будем теперь считать, что $T \in \mathfrak{D'}(\Omega)$ определяется функцией $u \in W^{l, p}(\Omega)$, то есть $T(\varphi) := \int_{\Omega}u(x)\varphi(x)dx$.

$ W^{l, p}(\Omega) = \left \{ f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \;|\; f \in L^p(\Omega); \; \forall a: |a|\leqslant l \; D^af \in L^p(\Omega) \right \} $ — пространство Соболева функций, суммируемых с $p\geqslant 1$, слабые производные до $l$-ного порядка которых тоже суммируются с $p$. Тогда:

$T(\varphi_y) = \int_{\Omega}u(x)\varphi(x-y)dx = \int_{\Omega}u(x+y)\varphi(x)dx$ — можем, так как на компакте слева и справа $\varphi$ умножается на одно и то же, а за пределами его будет 0. $u(x+y) \in L^p$

$ \sum_{|a|\leqslant l-1}\frac{(D^aT)(\varphi)}{a!}y^a = \sum_{|a|\leqslant l-1}\frac{\int_{\Omega} \left (D^au(x) \right )\varphi(x)dx}{a!}y^a = \int_{\Omega} \left (\sum_{|a|\leqslant l-1}\frac{D^au(x)y^a }{a!} \right )^* \varphi(x)dx$ — выражение, стоящее под $^*$, очевидно суммируемо с $p$ как линейная комбинация таковых ($D^au \in L^p$ по определению пространства Соболева).

Наконец,

$$\int_{0}^{1}\sum_{|a| = l}\frac{(D^aT)(\varphi_{ty})}{a!}y^a(1-t)^{l-1}dt = \sum_{|a| = l}\frac{y^a}{a!}\int_{0}^{1}\left (\int_{\Omega}D^au(x+ty)\varphi(x)dx \right )(1-t)^{l-1}dt =$$

$$ = \sum_{|a| = l}\frac{y^a}{a!}\int_{\Omega}\left (\int_{0}^{1}D^au(x+ty)(1-t)^{l-1}dt \right )^{**}\varphi(x)dx$$

Области интегрирования не зависят друг от друга, их можем переставить. Рассуждения про замены переменных внутри $\varphi$ и $u$ аналогичны первому пункту.Но! Совершенно непонятно, почему $^{**}$ принадлежит хотя бы $L^1$. А это должно быть так, иначе не сможем извлечь формулу Тейлора для функций пространства Соболева. Видимо, это делается такой теоремой:

Пусть $\Omega \in \mathbb{R}^n$ — открытое, $f$, $g$ — функции из $L^1_{loc}(\Omega)$. Пусть для любой $\varphi \in \mathfrak{D}(\Omega)$

$$\int_{\Omega} f\varphi = \int_{\Omega} g\varphi$$

Тогда $f = g$ почти всюду.

[AKM]

Позволю себе приподнять сей старательно написанный трактат,
слишком быстро убежавший на вторую страницу.
Прошу администрацию не делать мне замечания за искусственный подъём темы.

[Oleg Zubelevich]

ну скучно же