Помогите найти уравнения линий тока(Гидромеханика)

[Mathunter]

Здравствуйте! Меня зовут Олег и я изучаю программирование компьютерной графики, в частности алгоритми симуляции физических явлений. Сейчас разбираюсь с одной задачей по гидромеханике. Суть ее в следующем. Есть система из n профилей, которые находятся в области, ограниченной квадратом. Нужно найти линии тока около этих профилей с оговоркой на то, что давление, вязкость и другие характеристики жидкости(или газа) не важны, т.е. интересует вопрос представимости линий тока некоторыми функциями, которые зависят лишь от формы и положения обтекаемых профилей. Другими словами важна именно топология изолиний, а не физически корректное решение(хотя это тоже было бы неплохо). Прошу помочь в решении или хотя бы посоветовать соответствующую литературу.
P.S.Сильно физ. терминами не грузить так как гидромеханику изучаю относительно недавно.

[DimaM]

А можете картинку нарисовать? Как это все расположено, откуда втекает, куда вытекает.
Ну и от параметров все же никуда не деться, надо хотя бы число Рейнольдса прикинуть.

[kolas]

Посмотрите в сторону уравнений для незжимаемой жидкости в терминах функции вихря и функции тока. Насколько я помню изолинии функции тока будут совпадать с линиями тока, но но я не уверен.

[DimaM]

kolas в сообщении #715354 писал(а):

Насколько я помню изолинии функции тока будут совпадать с линиями тока

Будут.

[Mathunter]

kolas в сообщении #715354 писал(а):

Посмотрите в сторону уравнений для незжимаемой жидкости в терминах функции вихря и функции тока.

В общем пересматривал я разные материалы по физ. уравнениям несжимаемой жидкости(уравнение Навье-Стокса и Эйлера), и как всегда много интересных результатов, но как их связать с моей задачей ума не приложу. Ну для односвязной области еще как-то более менее понятно, к примеру, если вместо жидкости рассматривать потоки воздуха, то для профиля Жуковского-Чаплыгина существуют известные формулы для комплексного потенциала, из которых естественно легко найти уравнение для линий тока. У меня же область многосвязна. И на этот счет мне кажется нужно разобраться с системой из 2-х профилей, а потом те же методы распространить на систему из сколь угодно большого их количества. Верно ли я рассуждаю?
А вот собственно и схематическое изображение http://imageup.ru/s1306919, нарисованное в местном редакторе. Стрелочки указывают направление движения жидкости(во всяком случае по моему представлению), серые области - гипотетические профили. Сама совокупность профилей описываемая воображаемым квадратом расположена в некотором канале фиксированной длины.

[kolas]

Mathunter в сообщении #715584 писал(а):

У меня же область многосвязна.

Тогда представте что область односвязна, в которой определена функция от координат области, которая определяет свободна ли жидкость в данной точке или она вморожена в профиль, т.е. имеет жестко заданный закон течения (нулевая скорость).

[Mathunter]

Нашел в сети книгу Л.Г.Лойцянского "Механика жидкости и газа" и есть некоторые трудности. Нужно найти функцию конформно отображающую внешность n-ногоугольника с вершинами в точках($x_i,y_i$) на внешность единичного круга. Где про это можно почитать? А если у меня в не один многоугольник а несколько, то находить конф. отображения сразу для всей системы многоугольников или для каждого по отдельности?

kolas в сообщении #715629 писал(а):

Тогда представте что область односвязна, в которой определена функция от координат области, которая определяет свободна ли жидкость в данной точке или она вморожена в профиль, т.е. имеет жестко заданный закон течения (нулевая скорость).

А как это формализировать в мат. выражениях?

[Утундрий]

Если только для красоты, то тут можэно смухлевать следующим образом. Поскольку вся трагедия происходит в двумерной плоскости, восстановите к оной перпендикуляр и откладывайте по нему некую "псю". Ежели ориентировать квадрат парой сторон вдоль вектора набегающей из бесконечности скорости потока то вышеупомянутая "пся" должна быть на параллельных набиганию сторонах - постоянна, а на перпендикулярных - линейна и при этом всюду непрерывна. На обтекаемых контурах "пся" такоже постоянна, в согласии с ростом вдоль пограничной линейности. В общем, если считать это сурьёзно, то не избежать как минимум Патанкаров со Сполдингами, но ежели сугубо за для красоты... Тогда тупо: учтите точно лишь граничные условия, а в промежности сотней-другой итераций изобразите что-то похожее на натянутые на эти контуррА мыльную плёнку (гуглить "минимальная поверхность"). От-изозначевив потом это якобы-решение, получите что-то напоминающее.

[ptrvc]

Если проблема корректности решения не стоит, то почему бы не задать произвольную вектор-функцию $\boldsymbol{F}(x,y)$, удовлетворяющую граничным условиям? Затем построить ее линии тока по формуле $\dfrac{dx}{F_x}=\dfrac{dy}{F_y}$.

[Zai]

Цитата:

система из n профилей, которые находятся в области, ограниченной квадратом.

Двумерные задачи в ограниченных областях уже несколько десятилетий решены в рамках численных подходов. Воспользуйтесь openFoam или его широко известными коммерческими аналогами. Впрочем, чтобы воспользоваться этим решением необходимо изучить прикладные численные методы в гидродинамике ( создание сеток, проведение вычислений и естественный постпроцессинг численных результатов). Все бы хорошо, но в Центральном АэроГидродинамическом институте несколько сот ученых в течении нескольких десятилетий решают подобную задачу, но об одном уединенном профиле.

Цитата:

Утундрий Если только для красоты

Что-то не очевидно, что есть строгая математическая постановка задачи для уравнений завихренности и функции тока для многосвязной области. Ссылку на доказательство приведите.

[Утундрий]

Zai в сообщении #719425 писал(а):

не очевидно, что есть строгая математическая постановка задачи

ТС-у не нужна корректная постановка задачи, его "красивость" интересует.

[kolas]

Mathunter в сообщении #717067 писал(а):

А как это формализировать в мат. выражениях?

В мат выражениях трудно выразить, другое дело для сеточных методов все просто, берешь и зануляешь скорость где хочешь. А тут мы работаем с уравнениями движения, которые определяют скорости через силы. На ум только вспывает метод функций Грина, для ламинарного течения идеальной жидкости (сферического коня в вакууме) можно решить и в н-связной области.