Теория вероятностей

[max(Im)]

Имеется такое рассуждение.
Пусть на вероятностном пространстве $\langle \Omega, \mathcal{F}, P\rangle$ задана случайная величина $\xi(\omega),$ являющаяся по определению измеримой функцией. То есть для любого борелевского множества $X \subseteq \mathbb{R},$ прообраз $\lbrace \omega: \xi(\omega) \in X\rbrace \in \mathcal{F}.$ Рассмотрим ее функцию распределения $F_\xi(x) \stackrel{\mbox{\tiny\textit{d\!e\!f}}}{=} P\lbrace \omega : \xi(\omega) < x\rbrace,$ полунепрерывную слева.

Определим новое вероятностное пространство $\langle \mathbb{R}, \mathfrak{M}_\mathbb{R}, W\rangle,$ где $\mathfrak{M}_\mathbb{R}$ --- борелевская сигма-алгебра, а вероятностная мера такова, что $W(\omega < x) \stackrel{\mbox{\tiny\textit{d\!e\!f}}}{=}F_\xi(x).$ На этом пространстве зададим естественным образом случайную величину $\eta(\omega) \Def \omega,$ которая по распределению равна случайной величине $\xi,$ что очевидно исходя из построения. Действительно, $F_\eta(x) \stackrel{\mbox{\tiny\textit{d\!e\!f}}}{=} W\lbrace \omega : \eta(\omega) = \omega < x\rbrace = F_\xi(x).$

Определим также вероятностное пространство $\langle [0,1], \mathfrak{M}_{[0,1]}, \mu_{[0,1]}\rangle,$ то есть так, что заданная на нем $\theta(\omega) \stackrel{\mbox{\tiny\textit{d\!e\!f}}}{=} \omega$ будет равномерно распределенной на отрезке $[0,1]$ случайной величиной. Зададим случайную величину

$$\zeta(\omega) \stackrel{\mbox{\tiny\textit{d\!e\!f}}}{=} \sup\lbrace x: F_{\xi}(x) = \omega\rbrace \stackrel{\mbox{\tiny\textit{d\!e\!f}}}{=} F^{-1}_{\xi}(\omega),$$

где под $F^{-1}_{\xi}(\omega)$ подразумевается такая функция, для которой $F_\xi(F^{-1}_\xi(\omega)) = \omega.$ Поскольку такая функция может быть определена несколькими способами, то следует выбрать измеримый, например, так, чтобы она была полунепрерывной слева. То есть если для некоторого $\omega$ существует более одного прообраза, то достаточно выбрать супремум множества прообразов. Полученная случайная величина по распределению совпадает с исходной. Доказательство:
$F_\zeta(x) \stackrel{\mbox{\tiny\textit{d\!e\!f}}}{=}\mu\lbrace \omega : F^{-1}_{\xi}(\omega) < x\rbrace = \mu\lbrace \omega < F_\eta(x)\rbrace = \mu\lbrace \omega < W(\omega < x)\rbrace = W\lbrace \omega:\eta(\omega) = \omega < x\rbrace = F_\xi(x)$

Правда ли это? Получается какая-то избыточность. Ведь в природе не может быть такого деления на эты и дзеты..

Есть ли об этом что-то в литературе?

[_hum_]

max(Im) в сообщении #713628 писал(а):

Правда ли это?

Вы про то, что для с.в. с любым распределением с помощью функционального преобразования равномерно распределенной с.в. может быть построена эквивалентная ей по распределению с.в.? Тогда да: см. например, wiki/Inverse_transform_sampling.

P.S. И "полунепрерывности слева" не бывает. Бывает "непрерывность слева/справа" и "полунепрерывность сверху/снизу".

[--mS--]

max(Im) в сообщении #713628 писал(а):

$$\zeta(\omega) \stackrel{\mbox{\tiny\textit{d\!e\!f}}}{=} \sup\lbrace x: F_{\xi}(x) = \omega\rbrace \stackrel{\mbox{\tiny\textit{d\!e\!f}}}{=} F^{-1}_{\xi}(\omega),$$

где под $F^{-1}_{\xi}(\omega)$ подразумевается такая функция, для которой $F_\xi(F^{-1}_\xi(\omega)) = \omega.$

Так задать $\zeta$ можно только для непрерывных $F_\xi(x)$. Видимо, имелось в виду что-то типа

$$\zeta(\omega) = \sup\{x: F_{\xi}(x) \leqslant \omega \}$$

или

$$\zeta(\omega) = \inf\{x: F_{\xi}(x) \geqslant \omega \}.$$