Сходимость в L^2

[Vandaler]

Доказываю, что если $X$ - гауссовский процесс, то $L^2[X]$ есть гауссовская система, где $L^2[X]$ замыкание в пространстве $L^2(\Omega,\mathscr{F},\Prob)$ линейной оболочки всех величин $X_t$, $ t\in T$.

Мне остается показать, что если $X_n \xrightarrow{L^2} X$ и $Y_n \xrightarrow{L^2} Y$, то $X_n+Y_n \xrightarrow{L^2} X+Y$. Это верный факт?

Я рассуждал так:
$\mathsf{E}(X_n+Y_n - X -Y)^2 = \mathsf{E}(X_n- X )^2 + \mathsf{E}(Y_n-Y)^2 + 2\mathsf{E}(X_n- X)(Y_n- Y) \leqslant \mathsf{E}(X_n- X )^2 + \mathsf{E}(Y_n-Y)^2 + 2\sqrt{\mathsf{E}(X_n- X)^2 \mathsf{E}(Y_n-Y)^2} \to 0$

[Nimza]

Это же верно в любом нормированном пространстве в силу неравенства треугольника:

$$ \| X_n + Y_n - X - Y \| \leqslant \| X_n - X\| + \|Y_n - Y\| $$

[Vandaler]

Точно. Спасибо, а то у меня появились сомнения некоторые.