2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сходимость в L^2
Сообщение21.04.2013, 13:43 
Доказываю, что если $X$ - гауссовский процесс, то $L^2[X]$ есть гауссовская система, где $L^2[X]$ замыкание в пространстве $L^2(\Omega,\mathscr{F},\Prob)$ линейной оболочки всех величин $X_t$, $ t\in T$.

Мне остается показать, что если $X_n \xrightarrow{L^2} X$ и $Y_n \xrightarrow{L^2} Y$, то $X_n+Y_n \xrightarrow{L^2} X+Y$. Это верный факт?

Я рассуждал так:
$\mathsf{E}(X_n+Y_n - X -Y)^2 = \mathsf{E}(X_n- X )^2 + \mathsf{E}(Y_n-Y)^2 + 2\mathsf{E}(X_n- X)(Y_n- Y) \leqslant \mathsf{E}(X_n- X )^2 + \mathsf{E}(Y_n-Y)^2 + 2\sqrt{\mathsf{E}(X_n- X)^2 \mathsf{E}(Y_n-Y)^2} \to 0$

 
 
 
 Re: Сходимость в L^2
Сообщение21.04.2013, 14:25 
Это же верно в любом нормированном пространстве в силу неравенства треугольника:
$$
   \| X_n + Y_n - X - Y \| \leqslant \| X_n - X\| + \|Y_n - Y\|
$$

 
 
 
 Re: Сходимость в L^2
Сообщение21.04.2013, 15:31 
Точно. Спасибо, а то у меня появились сомнения некоторые.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group