ДУ + семейство линий

[DuNi4ka]

Подскажите, как решить подобную задачу:
Составить ДУ данного семейства линий: Cy - sinCx = 0.
Насколько я знаю, уравнение вида F(x,y,C)=0 (здесь F(x,y,C) = Cy - sinCx) нужно дифференцировать необходимое число раз, чтобы избавиться от неизвестной постоянной С, которая обычно фигурирует в общем решении ДУ.
Но тут - С стоит под знаком синуса, соответственно, как в этом случае от нее избавиться, если она будет присутствовать в любой n-ной производной??
Или ДУ этого семейства будет содержать константу?

[Brukvalub]

А если так:

\[ y'' = - C\sin Cx \Rightarrow y'' = - C^2 y \Rightarrow y'''y - y''y' = 0 \]

?

[DuNi4ka]

Дааа... Оказывается, и такая задача может быть не тривиальной =) А то в задачниках во всех примеры очень простые, а тут вот как вывернуть надо... Спасибо большое!

[Someone]

Brukvalub писал(а):

А если так:

\[ y'' = - C\sin Cx \Rightarrow y'' = - C^2 y \Rightarrow y'''y - y''y' = 0 \]

?

Нет, это как-то нехорошо. В семействе одна произвольная постоянная, поэтому надо обойтись первой производной.

Дифференцируя уравнение $Cy-\sin Cx=0$ по $x$, получим $Cy'-C\cos Cx=0$, откуда $\sin Cx=Cy$ и $\cos Cx=y'$; возводя в квадрат и складывая, получим $1=C^2y^2+(y')^2$. Из этого уравнения выражаем $C=\pm\frac 1y\sqrt{1-(y')^2}$. Осталось подставить это выражение в уравнение с косинусом: $y'=\cos\left(\frac xy\sqrt{1-(y')^2}\right)$.