Доказательство равенств двух периодических решений.

[KaDeaT]

Доброй ночи. Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.

Рассматривается система периодических дифференциальных уравнений.

$y'=f(x,y)$,
где

$f(x,y)$ непрерывны и локально липшицевы по y на $R^{n+1}$.
Следовательно имеет место единственность решения задачи Коши $(x_0,y^0)$

Теперь то, что нужно доказать.
Если $y=\Psi(x,x_0,y^0)$ решение системы в форме Коши, то верно

$$\Psi(x,x_0,y^0)=\Psi(x+\omega,x_0+\omega,y^0)$$

Доказательство:
$\varphi^1(x)=\Psi(x+\omega,x_0+\omega,y^0)$
$\varphi^2(x)=\Psi(x,x_0,y^0)$

(как я понимаю это просто обозначения вводимые для удобства)

$\Psi(x,x_0+\omega,y^0)$ - тоже решение (Вот это мне не понятно. Я так понимаю, это мы заключили из того факта, что $\Psi(x,x_0,y^0)$ решение, но как это сделать я не пойму. Есть предположение, что тут как-то используется периодичность. Ну т.е. мы сдвигаем начальную точку на период, значение функции останется прежним. Но ведь это уже другая задача Коши совсем.)

Тогда $Psi(x+\omega,x_0+\omega,y^0) $ тоже решение. (Если $y=\Psi(x)$ решение, то и $y=\Psi(x+\omega)$ тоже решение.)

$\Psi^1(x_0)=y^0=\Psi^2(x_0)$
Что и требовалось доказать.

Или может я просто саму идею доказательства не так понимаю?

[ewert]

KaDeaT в сообщении #713400 писал(а):

Рассматривается система периодических дифференциальных уравнений.

В каком смысле периодических?

[KaDeaT]

ewert
в смысле что $f(x,y)$ периодические функции.

Верно следующее
$ \begin{cases} f_j(x+\omega,y) \equiv f_j(x,y) \\ j=1,2,\cdots,n \end{cases} $, где $\omega$ - период.

[ewert]

KaDeaT в сообщении #713400 писал(а):

$\Psi(x,x_0+\omega,y^0)$ - тоже решение (Вот это мне не понятно.

Это попросту по определению функции $\Psi$. Содержательный (хотя и очевидный) факт там дальше -- что $\Psi(x+\omega,x_0+\omega,y^0)$ тоже будет решением.

Вообще доказательство оформлено довольно неряшливо. И даже сама формулировка: из "непрерывности и локальной липшицевости" единственность, конечно, следует, но вот существование (в смысле продолжимость на период) -- отнюдь.

[KaDeaT]

Спасибо за ответ.

Но кажется я не совсем понимаю, что вы хотите мне сказать.
Вот так?
Функция $\Psi$ решение задачи Коши. $\Psi$ - периодическая функция. И потому, если мы сдвинем начальную точку $x_0$ на период $\omega$, то получим снова это же решение. Как бы мы взяли две точки, на одной интегральной кривой? И почему мы решили, что $\Psi$ периодическая функция?

Как раз этот содержательный факт мне более понятен. Он дан в виде отдельной леммы и доказывается ранее.Буквально в одну строчку.

Если бы вы были так любезны показать мне, более правильное доказательство сей теоремы, я был бы вам очень признателен.

[ewert]

KaDeaT в сообщении #713682 писал(а):

Функция $\Psi$ решение задачи Коши.

Это -- не решение задачи Коши. В том смысле, что решение, конечно, однако для её формального определения одних этих слов категорически недостаточно. Восстановите (для себя) все, решительно все детали её формального определения -- и постарайтесь сделать выводы.

KaDeaT в сообщении #713682 писал(а):

$\Psi$ - периодическая функция.

Это -- ни разу не верно (т.е. один раз, может, и верно, но вообще говоря -- ни разу). И это совершенно не нужно для доказательства (и, естественно, не используется в нём).

[KaDeaT]

Кажется я понял. Я ошибся. $\Psi$ это у нас общее решение, записанное в форме Коши. То же самое общее решение, только роль констант записывают туда значения $x_0$ и $y^0$. Т.е. получаем зависимость решения от независимой переменной $x$ и начальных данных $x_0$ и $y^0$. Так как это общее решение, то при любых допустимых значениях $x_0$ и $y^0$ оно должно удовлетворять нашей системе. А так как $(x_0+\omega,y^0)$ допустимое значение из области определения, то соответственно $\Psi(x,x_0+\omega,y^0)$ тоже является решением.
Вот, теперь вроде все встало на свои места.

[ewert]

KaDeaT в сообщении #713699 писал(а):

Так как это общее решение, то при любых допустимых значениях $x_0$ и $y^0$ оно должно удовлетворять нашей системе. А так как $(x_0+\omega,y^0)$ допустимое значение из области определения, то соответственно $\Psi(x,x_0+\omega,y^0)$ тоже является решением.

Нет, боюсь, что Вы неправильно поняли логику (именно логику; это не означает что идею). Пресловутая $\Psi(x,x_0,y^0)$ -- вовсе не таинственное "общее решение" (термин вообще-то довольно неопределённый). Это -- вполне конкретное математическое понятие: это функция трёх аргументов, которая каждой паре начальных значений $(x_0,y^0)$ и каждой точке наблюдения $x$ ставит в соответствие значение $y(x)$ решения, отвечающего именно этим начальным данным.

[KaDeaT]

Функция $y(x)$ решение. Для допустимого $x$, при некоторых конкретных начальных данных $(x_0,y^0)$, её значения совпадают со значениями функции $\Psi(x,x_0,y^0)$.
Так?

-- 21.04.2013, 21:27 --

И дальше.
Если мы берем некоторые другие начальные данные $(x_0+\omega,y^0)$, то функция $y=\Psi(x,x_0+\omega,y^0)$ тоже решение. Но еще неизвестно тоже самое что и изначальное или другое. Потом мы показываем, что $\varphi^1(x)=\Psi(x+\omega,x_0+\omega,y^0)$ тоже решение и проверяем, что они при $x_0$ равны между собой и равны $y^0$. И в силу единственности решения задачи Коши, в конкретной точки эти функции равны между собой т.е. это одна и та же функция..