Интеграл

[sopor]

Олимпиадный интеграл
$\int {x^{2013}\tg^2{x}}dx$

[Shtorm]

sopor, ну первое, что приходит в голову - это занести тангенс в квадрате под знак дифференциала, затем "по частям", затем ещё раз....и вывести по индукции формулу.

[zychnyy]

$...=|u={x}^{2013},\ du=2013x^{2012}dx,\ dv={\tg }^{2}x,\ v=\int_{}^{}(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1) dx=\tg x-x|=({x}^{2013}\tg x-{x}^{2014})-2013(\int_{}^{}{x}^{2012}\tg xdx-\int_{}^{}{x}^{2013} dx)=|u=\tg x,\ du=\frac{dx}{{\cos }^{2}x},\ dv={x}^{2012}dx,\ v=\int_{}^{}{x}^{2012}dx=\frac{1}{2013}{x}^{2013}|=({x}^{2013}\tg x-{x}^{2014})-2013(\frac{1}{2013}{x}^{2013}\tg x-\frac{1}{2013}\int_{}^{}\frac{{x}^{2013}}{{\cos }^{2}x}dx-\frac{1}{2014}{x}^{2014})=...$
Дальше, думаю, понятно.

[Ms-dos4]

Этот интеграл в элементарных функциях выражаться не будет.