Какова аксиоматика без закона исключённого третьего?

[Dims]

А как называется алгебра без закона исключённого третьего? И какой набор аксиом туда входит?

Спасибо.

[Someone]

Dims писал(а):

А как называется алгебра без закона исключённого третьего? И какой набор аксиом туда входит?

Какая алгебра?

Логику без закона исключённого третьего используют интуиционизм и конструктивная математика (есть и другие отличия от классической логики).

[Dims]

А какие там аксиомы остаются?

Добавлено спустя 4 минуты 42 секунды:

Или иначе спрошу. Вот есть аксиомы булевой алгебры. Из них можно вывести закон исключения третьего? Если "да", то что нужно убрать по минимуму, чтобы закон исключения третьего перестал действовать?

[Someone]

Dims писал(а):

А какие там аксиомы остаются?

Да все, кроме закона исключённого третьего. Посмотрите вот эту книжку:

Е.Расёва, Р.Сикорский. Математика метаматематики. "Наука", Москва, 1972.

Dims писал(а):

Или иначе спрошу. Вот есть аксиомы булевой алгебры. Из них можно вывести закон исключения третьего? Если "да", то что нужно убрать по минимуму, чтобы закон исключения третьего перестал действовать?

Закон исключённого третьего там прямо сформулирован в виде аксиомы: $a\vee\neg a=1$. Его, стало быть, и надо убрать. При этом, кстати, перестанет выпоняться равенство $\neg\neg a=a$.

Примером такой алгебры может быть семейство открытых подмножеств топологического пространства $X$: $U\vee V=U\cup V$, $U\wedge V=U\cap V$, $\neg U=X\setminus[U]_X$, где квадратные скобки обозначают оператор замыкания. А булеву алгебру можно рассматривать как семейство открыто-замкнутых подмножеств (вполне несвязного) топологического пространства (теорема Стоуна). Точную формулировку найдёте в указанной книжке.

[Dims]

Someone писал(а):

Закон исключённого третьего там прямо сформулирован в виде аксиомы: $a\vee\neg a=1$. Его, стало быть, и надо убрать. При этом, кстати, перестанет выпоняться равенство $\neg\neg a=a$.

А там ещё есть аксиома $a\wedge\neg a=0$, её не надо убирать, она совершенно независима от закона исключения третьего?

[juna]

Данное утверждение следует из принципа двойственности, поэтому, по идеи, надо убирать.

[Someone]

Я же показал на примере (семейство открытых подмножеств топологического пространства), что из $a\wedge\neg a=0$ не следует закон исключённого третьего, поскольку для открытых множеств это равенство выполняется (оно, если не ошибаюсь, называется законом противоречия), а закон исключённого третьего - нет.

Кстати, сам принцип двойственности следует как раз из этих двух законов, и если одного из них нет, то нет и принципа двойственности.

[Dims]

А можно закон исключённого третьего сформулировать вот так:

$((a = 0) = (a \neq 1)) \land ((a = 1) = (a \neq 0))$

Нужна ли вторая половинка?
И вообще, можно ли построить аксиоматику на равенстве-неравенстве?

[Someone]

Нельзя. В булевой алгебре, вообще говоря, не два элемента.
Кроме того, у меня возникает впечатление, что мы тут общими усилиями перепутали булеву алгебру с математической логикой. Закон исключённого третьего относится всё-таки к математической логике, а не к булевой алгебре. В классической логике алгебра высказываний является булевой алгеброй. В интуиционистской логике, где нет закона исключённого третьего, алгебра высказываний не удовлетворяет аксиоме $a\vee\neg a=1$. Но лучше почитать соответствующую литературу.

[eugrita]

Извините что с опозданием, но лучше так. Нашел недавно эту тему.
1)Мне очень интересна возможность оперирования с логическими выражениями в логике без закона исключенного третьего. Если такие подходы рассматривались, то где?
2)Связанный с 1) вопрос: Возможны какие-то математические описания диалектики и диалектической логики?
А то как-то дисциплины формальная логика и математическая логика существуют сами по себе.
Очень хотелось бы почитать написанное математиками на эту тему

[Sonic86]

eugrita в сообщении #690618 писал(а):

1)Мне очень интересна возможность оперирования с логическими выражениями в логике без закона исключенного третьего. Если такие подходы рассматривались, то где?

Вам достаточно было прочитать тему:

Someone в сообщении #61609 писал(а):

Логику без закона исключённого третьего используют интуиционизм и конструктивная математика (есть и другие отличия от классической логики).

Если Вам это совсем незнакомо, можете начать со статьи в Википедии, там указано несколько источников, ну и погуглить.

eugrita в сообщении #690618 писал(а):

Возможны какие-то математические описания диалектики и диалектической логики?

Был такой советский логик Зиновьев от философии (но я не могу сказать, насколько его работы котируются в матлогике), он, грубо говоря, считал что никакой диалектической логики нет. Если интересно, пишите в ЛС, поскольку рассуждения на эту тему математикой не являются.